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用平移、旋转和轴对称研究几何问题 学习旋转要解决的问题： 分三个层次①直接的旋转作图或者旋转关系的叙述；②增加干扰线段，隐含部分已知，主动发现旋转关系，并证明某些结论③需要添加辅助线，完善图形创造情境，进行证明。 要重视的问题：共顶点的等腰三角形的出现是实现旋转的情境；（辅助线添加方向） 一、平移、旋转和轴对称在几何题中的应用 1．已知：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形.求证：BD⊥EC. 2．如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝45°，∠C＝20°，∠EAB＝30°，则∠D＝ °，若AC、DE交于点F，则∠EFC＝ °. 3．如图，△ABC中，∠BAC=120o，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60o后到△ECD的位置.若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长. 4．已知：如图，A、B、C在同一直线上，且与都是等边三角形，求证：. 拓展 如图1，点C为线段AB上一点，△ACM， △CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，BM、CN交于点F． （1）求证：AN=BM； （2）求证： △CEF为等边三角形； （3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90o，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 5．如图，已知正方形ABCD和BC边上一点E，将直角三角形ABE绕点B逆时针旋转90o，再沿BC方向平移，平移距离是线段BC的长度，请画出图形.并回答：旋转后三角形的斜边与AE有什么关系？为什么？ 二、常见的利用平移、旋转和轴对称变换作的辅助线 几何问题中的辅助线是对同学们几何思维能力的考验，通过分析找到辅助线的添加方法，能够使几何问题简化，有助于问题的解决.同时，通过研究平面几何的辅助线的添加方法，能够锻炼同学们分类研究问题的能力.平面几何的辅助线有一定的规律，而这些规律大多与几何图形的三种变换有关，下面我们就来研究常见辅助线与几何图形变换的关系. 1．（三角形的倍长中线）已知：在△ABC中，AB=AC，CD是中线，延长AB到E，使BE=AB，连结CE.求证：CD=CE. 拓展1 如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围． 提示：延长AD至A＇，使A＇D＝AD，连结BA＇．根据“SAS”易证△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．这样将AC转移到△A＇BA中，根据三角形三边关系定理可解． 拓展2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．求证：DF=EF． 提示：此题辅助线作法较多，如： ①作DG∥AE交BC于G； ②作EH∥BA交BC的延长线于H； 再通过证三角形全等得DF＝EF． 2．（三角形的翻折角平分线）已知：在中，，AD是的平分线. 求证：. 拓展1 如图，已知：在中，，AD是的平分线，P是AD上任意一点. 求证：. 拓展2 已知：ΔABC中，∠A=，AD是BC边上的高，BE是角平分线，且交AD于P.求证：AE=AP. 3．（梯形的线段倍长）已知：梯形ABCD中，AD//BC，E是DC的中点，AE平分∠BAD．求证：AB=AD+BC． 拓展1 如图，已知：在梯形ABCD中，AB//CD，∠ADC=90o，F为BC的中点，∠AFC=3∠BAF.求证：CD=CF. 拓展2 已知：直角梯形ABCD中，AB//DC，AB⊥AD，F为BC的中点，CF=DC．求证：∠AFC=3∠BAF． 拓展3 已知：如图5，在梯形中，、N分别是、的中点。求证：。 4．（正方形中的三角形旋转）已知：如图E是正方形ABCD边BC上任意一点，AF平分角EAD交CD于F，试说明BE+DF=AE. 拓展1如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有. 求：的度数. 拓展2如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有. 求证：. 拓展3如图，正方形ABCD边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，若△APQ的周长为2．求∠PCQ的大小． 拓展4如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC上的点，且∠EAF=45o，AH⊥EF．求证：AH=AB． 拓展5如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍．试确定∠HAF的大小，写出推导的过程． 5．（三角形的辅助线旋转）已知，如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 .求证：DE的长. 拓展1 如图，在等腰三角形ABC中，P是三角形内的一点，且∠APB=∠APC．求证PB=PC． 拓展2 △ABC中，AB=AC