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关于分块矩阵的对角schur补 汤凤香，何淦瞳，方秀男，李培培 （1.佳木斯大学 数学系，黑龙江 佳木斯 154007； 2.贵州大学 理学院，贵州 贵阳 550025） 摘 要 本文利用矩阵分块的思想，主要证明了I-块严格对角占优阵的对角schur补仍然是I-块严格对角占优阵，同时利用连续性证明了I-BDD的对角schur补还是I-BDD。 关键字 对角schur补，I-块严格对角占优阵，块对角占优阵 中文分类号 文献标识码 引言 近年来，很多研究者在研究矩阵的schur补问题并且取得了一定的成果，如在[2，5]中证明了半正定矩阵、M-阵、H-阵的schur补仍是半正定矩阵、M-阵、H-阵；并且它们的某些性质已经被应用到数值分析中的Gauss-Seidel迭代法的收敛问题上如。文献[1]对分块矩阵作了详细的研究，[1]证明了块严格对角占优阵的schur补仍然是块严格对角占优阵。[5]证明了严格对角占优阵的对角schur补仍然是严格对角占优阵。鉴于[1]和[5]中介绍的关于矩阵分块和对角schur补的性质，本文主要证明了I-块严格对角占优阵的对角schur补仍然是I-块严格对角占优阵，同时利用连续性证明了I-BDD的对角schur补还是I-BDD。 1 给出一些相关定义 考虑复矩阵A，它有如下的分块： 其中是A的一个的非奇异主子阵，，简记 设S表示集合表示k阶M-矩阵； I表示单位阵；表示所有复矩阵；表示中所有形如（1）的块矩阵；假设定义为块矩阵A的范数矩阵，其中是某个consistent矩阵范数。 定义1.1 设且非奇异，如果 ，则称A是I-块对角占优（简称）；如果对，（2）式严格成立，则称A是I-块严格对角占优（简称）。 注：为了方便可以简记为，其它符号同上。 定义1.2 设有如下的分块： （3） 其中 分别是的非奇异块矩阵和块矩阵， ；而且（3）的分块不改变（1）的分块。定义A关于的schur补为：. 定义1.3 设且非奇异， ，如果块矩阵A的比较矩阵都是M-阵，则称A是I-块H-阵，其中 定义1.4设，如（1）、(3)那样分块，则 叫做矩阵A关于的对角schur补。记作 . 2 块对角占优阵的对角schur补 引理2.1 设，则，其中与（1）中A有相同的分块。（注：一定是 见[1]） 引理2.2 设，如果，则I-A是非奇异且 引理2.3 设，则A非奇异。 引理2.4 设，如(3)那样分块，则有 ，其中=k+t,t=1,2, ,s-k 引理2.5 设是一个严格对角占优阵，则是一个M-阵。 定理2.1 设，且如（3）那样分块，则 证明 ，根据引理2.5知，根据引理2.3知存在， 存在，设与有相同的分块，对有 令 第二个不等式由引理2.2、引理2.4可知；最后一个不等式由引理2.1可知。是，是严格对角占优阵且是Z-矩阵， 是M-矩阵。 定理2.2 设，如（3），且设非奇异，则。证明 对于均有 ， 根据定义有， 其中，则是.在定理2.1中用替换A，，根据连续性当时有。 参考文献 [1] Cheng-yi Zhang, Yao-tang Li, Feng Chen ,On Schur complement of block diagonally dominant matrices ,Linear Algebra and its Applications 414 (2006) 533–546. [2] Jianzhou Liu, Yungqing Huang, Fuzhen Zhang, The Schur complements of generalized doubly diagonally dominantmatrices, Linear Algebra Appl. 378 (2004) 231–244. [3] R.A. Horn, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, New York, 1991. [4] R.A. Horn, Matrix Analysis, Cambridge University Press, New York, 1985, pp. 300–301. [5] Jianzhou Liu, Yungqing Huang, Some properties on Schur complements of H-matrix and diagonally dominant matrices, Linear Algebra Appl. 38