高中数学高考总复习数学归纳法习题及其详解.docVIP

高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解 一、选择题 1．已知an＝，数列{an}的前n项和为Sn，已计算得S1＝－1，S2＝－1，S3＝1，由此可猜想Sn＝(　　) A.－1　　　　　　　 B.－1 C.－2 D.－2 [答案]　B 2．已知Sk＝＋＋＋…＋(k＝1,2,3，…)，则Sk＋1等于(　　) A．Sk＋ B．Sk＋－ C．Sk＋－ D．Sk＋＋ [答案]　C [解析]　Sk＋1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋－＝Sk＋－. 3．对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下： 1°当n＝1时，≤1＋1，不等式成立. 2°假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即k＋1，则n＝k＋1时，＝＝＝(k＋1)＋1. ∴当n＝k＋1时，不等式成立. 上述证法(　　) A．过程全都正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 [答案]　D [解析]　没用归纳假设． 4．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …　… 则在表中数字2010出现在(　　) A．第44行第75列 B．第45行第75列 C．第44行第74列 D．第45行第74列 [答案]　D [解析]　第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，20252010，∴2010在第45行． 又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，选D. 5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)49成立，则当k≥8时，均有f(k)k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 [答案]　D [解析]　对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误． 对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误． 对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误． 对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D. 6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形(　　) A．(8n－1)个 B．(8n＋1)个 C.(8n－1)个 D.(8n＋1)个 [答案]　C [解析]　第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n个图挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝个． 7．观察下式： 1＋3＝22 1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＝52 …… 据此你可归纳猜想出的一般结论为(　　) A．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*) B．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈N*) C．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈N*) D．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*) [答案]　D [解析]　观察可见第n行左边有n＋1个奇数，右边是(n＋1)2，故选D. 8．(2010·天津滨海新区五校)若f(x)＝f1(x)＝，fn(x)＝fn－1[f(x)](n≥2，n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋…＋fn(1)＝(　　) A．n B. C. D．1 [答案]　A [解析]　易知f(1)＝，f(2)＝，f(3)＝，…，f(n)＝；由fn(x)＝fn－1(f(x))得，f2(x)＝，f3(x)＝，…，fn(x)＝，从而f1(1)＝，f2(1)＝，f3(1)＝，…，fn(1)＝，， 所以f(n)＋fn(1)＝1，故f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋…＋fn(1)＝n. 9．(2010·曲阜一中)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是(　　) A．[，2) B．[，2] C．[，1] D．[，1) [答案]　D [解析]　由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝f 2(1)＝2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝f 3(