线性代数精彩应用案例_之一_.docVIP

 线性代数精彩应用案例 (之一) 李尚志 (北京航空航天大学 理学院 ,北京 100083) 线性代数是大学最重要的基础课程之一 . 它的内容比起另一门最重要的基础课 ———微积分要少得 多 ,但是还是有很多学生感到线性代数难学 ,特别是难以入门. 其主要原因在于线性代数一开始就从天 而降许多抽象的概念 ,将初学者先打了“一百杀威棒”. 在我们通过建设国家精品课程《线性代数》形成的十五规划教材《线性代数》(李尚志著 ,高等教育出 版社 ,2006) 中 ,为了帮助初学者克服学习抽象概念时所遇到的困难 ,我们不是从定义出发而是从问题出 发来组织课程内容 ,首先提出一些重要而又能引起学生兴趣的问题 ,引导学生一步步建立数学模型来描 述和解决这些问题 ,在解决问题的过程中引出概念和方法. 在得出这些概念和方法之后 ,还提供了应用 它们来解决问题的更多的例子 . 以下是其中的两个例子 : ( 1) 求斐波那契数列的通项公式 ; ( 2) 对任意 正整数 n ≥3 设计 n 阶幻方 . 这两个问题都是数学史上有名的问题 ,都有它们各自的专门的解答方法 . 然 而 ,通过如下的分析可以看到 :无需学习和记住任何专门的方法 ,只要利用线性代数中一些众所周知的 基本概念 ,问题就迎刃而解 . 1 斐波那契数列 例 1 数列 F1 , F2 , , Fn , ?如果满足条件 ( 对所有的正整数 n ≥3) , F1 = F2 = 1 , Fn = Fn - 1 + Fn - 2 就称为斐波那契 ( Fi bo nacci) 数列 . 试求斐波那契数列的通项公式 . 先求满足递推关系 an = an - 1 + an - 2 的等比数列{ an } , 其中 an = a1 qn - 1 . 于是 ( 1) 成为 ( 1) q = 1 ± 5 . a1 qn - 1 = a1 qn - 2 + a1 qn - 3 , 即 q2 = q + 1 , 即 2 可见 , 满足条件 ( 1) 的等比数列有两个可能的公式 q1 = 1 + 5 和 q2 = 1 - 5 . 2 2 如果等比数列{ an } 满足条件 a1 = a2 = 1 , 则公比为 1 , 既不等于 q1 也不等于 q2 , 因此不可能满足条 件 ( 1) . 但是 , 如果将满足条件 ( 1) 的两个等比数列{ a , aq1 , aq2 , } 与{ b , bq2 , bq2 , } 逐项相加得到数列 1 2 { cn } = { an + bn } = { a + b , aq1 + bq2 , aq2 + bq2 , } , ( 2) 1 2 则数列 ( 2) 仍然满足条件 ( 1) . 如果能适当选择 a , b 使 c1 = c2 = 1 , 即 a + b = 1 , aq1 + bq2 = 1 , ( 3) 则{ cn } 就符合斐波那契数列{ Fn } 所满足的全部条件 . 容易看出 , 满足条件的斐波那契数列{ Fn } 是唯一 的 . 因此 , 满足条件 ( 3) 的 a , b 决定的数列 ( 2) 就是所求的斐波那契数列 . 由于 q1 , q2 已知 , 可以将条件 ( 3) 看成以 a , b 为未知数的二元一次方程组 , 解之得 a = q2 - 1 , q2 - q1 b = 1 - q1 , q2 - q1 从而 qn - 1 n - 1 1 ( q2 - 1) + q2 ( 1 - q1 ) Fn = aqn - 1 + bqn - 1 = . 1 2 q 2 - q1 由于 q1 + q2 = 1 , q2 - 1 = - q1 , 1 - q1 = q2 , 又 q2 - q1 = 5 . 因此 n n 1 + 5 1 - 5 - qn n 2 - q1 2 2 Fn = q = . - q 5 2 1 以上的解法的关键是 :满足条件 ( 1) 的两个等比数列 { an } , { bn } 之和{ cn } 仍然满足条件 ( 1 ) , ( 虽然 { cn } 一般说来不再是等比数列) , 适当选择{ an } , { bn } 就可以使{ cn } 的前两项都等于 1 . 实际上 , 满足条件 ( 1) 的任意两个数列的和仍然满足条件 ( 1) , 满足条件 ( 1) 的任意一个数列{ an } 的 常数倍{λan } 仍然满足条件 ( 1) . 考虑由复数组成的全体数列{ an } 组成的集合 V 对于通常的加法和数乘 构成的复数域