七、三个宇宙速度；.docVIP

七、三个宇宙速度； 今天这次课继续要讲的内容是三个宇宙速度。和关于α粒子的散射问题。要想成功地发射人造卫星或者宇宙飞船，它的一个基本关键问题就是发射速度问题。发射速度也就是通常所说的宇宙速度，要准确地计算出实际所需的发射速度是一个很复杂的问题，它不仅仅要考虑空气阻力的影响，还得考虑其它因素的影响等等，不过我们只讨论最理想的基本理论，至于其它的实际复杂问题不是我们的研究范围。关于三个宇宙速度的计算，在普通力学中已经讲过，现在我们从另一个角度来讲，从讨论星体的速度与轨道的关系这个角度来得出三个宇宙速度。也就是说从机械能守恒出发：* 由上次课的讨论，我们知道质点的总能量E是与轨道有关的，如果我们得出了总能量E与轨道的具体关系，那么由机械能守恒这个式子（指上式）就可得到速度与轨道的关系。那么根据这个速度与轨道的关系就可以求出所需的发射速度。按照这一思路我们现在得先求出总能量E与轨道参数的关系。 总能量与轨道参数的关系： 在极坐标系中,质点的总能量用极坐标来表示的话，应该是： 根据这一关系式可将（1）式中的消去得到 如果质点的轨道为椭圆，对椭圆来说，在近日点有： 又由 可得 在这里为什么选取近日点来计算E呢？这完全是为了计算方便起见来取的，由于质点的总能量E是守恒的，所以可以选任意一点来计算E，因此为了计算方便起见，我们在这里取近日点来计算得到E。 讨论：①由上面得到的结果可见总能量E0，这与我们上一次课讲过的判断依据是一致的。②从所给的结果还可以发现什么特点？我们可以发现对作椭圆轨道运动的质点，它的总能量E只与长半轴a有关，而与短半轴无关。那么卫星沿1、2、3、这三条不同的椭圆轨道运动时，其总能量相不相同？显然是相同的。因为长半a相同。所以E相同。 2、第一宇宙速度： 将 代入*式，则有作椭圆轨道运动质点的机械能守恒式为： **下面我们就根据这个式子来计算三个宇宙速度。现在我们先计算第一宇宙速度，所谓的第一宇宙速度就是从地球表面发射的物体能够环绕地球运行所需的最小发射速度。也就是发射人造地球卫星所需的最小发射速度。对人造地球卫星来说，如果假设它是沿着圆形轨道在地球表面附近环绕地球运行，令它的运行速度为V1，这个速度就是发射人造地球卫星时的速度，因为，卫星是在地球表面附近沿圆形轨道运行的，所以卫星到引力中心即地心的距离 r =R地，显然它的轨道参数a=R地，将它们代到**式则有： 这里的R是地球的半径，它是己知的。所以，只要算出 k2 的值，就可求得V1，由于在地球表面运行的卫星所受的地球引力就等于卫星的重量mg，即 这就是地球卫星绕地球表面附近运行所需的最小地面发射速度。它就是第一宇宙速度，也叫环绕速度。下面我们再来计算第二宇宙速度。 3、第二宇宙速度：----------逃逸速度 第二宇宙速度是指：使物体能够脱离地球的引力作用范围而绕太阳运行所需的最小地面发射速度。我们就令第二宇宙速度为V2，因为我们不考虑宇航器在运行过程中的阻力，那么发射后的宇航器其机械能是守恒的。在地面附近刚发射后的物体机械能，考虑到第二宇宙速度是物体逃逸地球引力作用范围所需的最小发射速度，所以使物体能脱离地球的引力作用范围，就得能够使物体离地球无限远，显然此时椭圆轨道的长半轴a就趋近等于无穷远： 这就是物体想要逃逸地球引力作用范围所需的最小速度。因此第二宇宙速度也常常叫做逃逸速度。具有第二宇宙速度的物体，它只能脱离地球，而不能脱离太阳系，使物体能够脱离太阳的引力作用范围所需的最小地面发射速度叫做第三宇宙速度。至于第三宇宙速度在这里就不讲了。 圆形轨道的稳定性： 接下去我们简单地讨论一下圆形轨道的稳定性。然后再讲平方反比斥力作用下的α粒 子的散射问题。 假设质点在有心引力作用下沿任何半径的圆形轨道运动，既然己假定质点在有心力作用下轨道的形状，显然对有心力我们就可用比耐公式进行讨论。对于圆形轨道，此结果表明：在有心引力中，对任何质点来讲，只要抛射速度垂直于位置矢径，并使它满足 这个关系，那么质点就可以沿着任何半径的圆形轨道运动。那么这样的圆形轨道是否稳定的呢？所谓的稳定与不稳定是这样来区分的。当质点受到微小扰动而偏离原来的轨道后，如果还始终保持在原来轨道的近邻，那么就称原来轨道上的运动是稳定的。反之，如果偏离原轨道的程度不断扩大，则原轨道上的运动就称为是不稳定的。外界经常产生的微扰因素，它总是会使不稳定的圆轨道趋于消失，所以我们实际观察到的圆轨道只能是稳定的。现在我们就来讨论在外界的微扰影响下使圆形轨道保持稳定的条件是什么？为此，我们设想有-u=u0，h=h0的圆形轨道。对此圆形轨道我们由前面的讨论得知，它的.当外界对它有一个微小扰动