典例剖析(第四课时)（直线和平面垂直的判定和性质）.docVIP

［例1］空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD. 选题意图：考查三垂线定理的应用. 分析：AC是平面BCD的斜线，为证明BD⊥AC，要找到AC在平面BCD内的射影，需确定A在平面BCD内的射影. 证明：如图9—74，作AO⊥平面BCD于O，则BO为AB在平面BCD内的射影. ∵AB⊥CD ∴BO⊥CD 同理DO⊥BC，所以O为△BCD的垂心，连结CO ∴CO⊥BD ∵CO为AC在平面BCD内的射影 ∴AC⊥BD ［例2］Rt△ABC在平面α内，点P在平面α外，若P到直角顶点C的距离为24，则到两直角边的距离均为，求PC与平面α所成的角. 选题意图：考查三垂线定理或逆定理、及线面角知识. 解：如图9—75，过P作PO⊥平面α于O，连结CO，则∠PCO为PC与α所成的角，作OD⊥AC于D.OE⊥BC于E，连结PD和PE. ∴PD⊥AC，PE⊥BC ∵PD＝PE＝ ∴OD＝OE ∵∠ACB＝90° ∴CDOE为正方形. ∵PC＝24 因此，PC与平面α所成之角为30°. ［例3］在空间四边形PABC中，PA⊥平面BAC，AC⊥BC，若A在PB、PC上的射影分别是E、F，求证：EF⊥PB. 选题意图：考查三垂线定理和逆定理的灵活运用，它是证明空间两直线垂直时经常使用的，要求学生牢固掌握. 证明：∵PA⊥平面ABC ∴PA⊥BC 又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A ∴BC⊥平面PAC，而AF面PAC ∴BC⊥AF 又∵F是点A在PC的射影 ∴AF⊥PC ∴AF⊥平面PBC ∴AE在平面PBC的射影为EF 又∵E为A在PB的射影 ∴AE⊥PB 由三垂线逆定理知EF⊥PB. 图9—74 图9—75 图9—76