导数 Derivative的概念.pptVIP

解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为 所以，所求切线方程为 所求法线的斜率为 所求法线方程为 例6 求双曲线 在点 处的切线方程和法线方程。 即 即 例 曲线 在点 处的切线平行于直线 例 曲线 在点 处的切线垂直于直线 例 曲线 在点 处的法线垂直于直线 ◆函数的可导性与连续性的关系 可导 连续 连续是可导的必要非充分条件 故函数在点 x=0 处连续 故函数 f (x)= |x| 在点 x=0 不可导 解 函数 f (x) 在某点连续，却不一定在该点可导。 例7 讨论函数 在点 的连续性和可导性。 不存在 例8 设 在 点可导，求常数 的值。 解 因为函数在x=2点可导，所以函数在该点连续。 所以有 又 即有 （1） 所以 代入（1）式得 所以 即为所求。 又 ◆函数的微分 结论： 可导 可微，且 一般形式 导数公式 微分公式 一一对应 ◆复合函数的微分法则和微分形式不变性 例1 解 例2 解 例3 解 例4 求由方程 确定的隐函数的微分 解 两边同时微分，得 即 所以，所求微分为 ◆罗尔定理 Rolle Theorem (2) 在开区间 内可导； 则在 内至少存在一点 ，使 (1) 在闭区间 上连续 (3) 若函数 满足： 罗尔定理的几何意义 连续曲线 y = f (x)的弧AB除端点外处处具有不垂直x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上至少存在一点C，使得曲线在该点处的切线是水平的. x y 例1 验证函数 在区间 上满足罗尔 定理，并求出定理中的 值。 解 因为函数在 上连续，在 内可导，且 所以，函数在 上满足罗尔定理 而 令 得 所以， 即为所求的点。 ◆拉格朗日中值定理 lagrange Theorem 若函数 满足： (2) 在开区间 内可导； 则在 内至少存在一点 ，使 (1) 在闭区间 上连续； x y 几何意义: 连续曲线 y = f (x)的弧AB除端点外处处有不垂直x轴的切线，则弧上至少至少存在一点 ，使得曲线在点 处的切线平行弦AB。 推论：如果函数 f (x)在区间I上的导数恒为零，那末 f (x) 在区间I上是一个常数 例 证明 证明 令 则 在 内满足Lagrange中值定理 而 所以 而 所以 由Lagrange中值定理可知 例2 解 因为 所以 即 所以 即为所求。 练习 解答 构造有关的函数 确定应用区间 应用Lagrange定理 计算导数后的等式 转化为不等式 例3 解 所以 即 所以 解题思路： ◆洛必达法则 若 属 类型的极限问题，则可考虑用洛 必达法则，如果 存在或为 ，则 注意：法则只能解决 存在时，未定式 的定值问题。即如果 不存在，也不是 ， 则法则失效。 例1 求下列极限 型 型 型 解 原式 解 原式 解 原式 例2 求极限 解 这是 型的未定式，且当 时， 所以，原式 适当使用等价无穷小替换，再使用洛必达法则，可简化极限运算。 练习 （1）形如