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第五章 有限元概论 学习内容： 有限元方法主要是解决结构力学、材料力学、弹性力学不能解决的问题方法 有限元实质是什么 有限元在土木工程的应用 有限元方法的通用程序简介 思考题 简支梁分四段共有 五个截面 每个截面的内力是 如何联系的？ 每个截面有几个位 移参数？ 如果每段用截面的 位移参数描述整段 的位移需用几次函数？ 如果用3次有几个未知数 如何求解未知数？ 第二节 有限元概况 有限元的发展历史 有限元的力学基础 有限元是一种近似方法：局部边界条件 有限元的误差分析 适用多个领域 现代计算机促进了展 近代有限元形成了多个分支 可解决多种问题 有限元存在的问题 讨论:有限元的实质是什么? 1、如果不用有限元：解一个四阶偏微分方程，同 时边界条件应处处满足； 2、有限元方法是求解线性方程组； 边界条件不是处处满足，而是在某些点上满足； 实质：用一系列线性方程组近似代替四阶偏微分 方程； 用某些边界上点满足边界条件代替处处满足边界 条件，是一种近似方法 学习有限元：学习如何实现近似途径 小测试: 1)力法方程中的内力与位移关系是基于什么原理? 2)有限元方法中的内力与位移关系是基于什么原理? 3)有限元法的基本思想?(对边界处理\位移模式\内力模式\应力模式) 4)举例说明有限元方法不能解决土木工程中所有力学问题. 5)有限元分析过程中结构刚度矩阵合成时是基于什么方程? 6)边界条件在有限元分析过程中是如何实现的? 7)一个完整的结构有限元分析应包括几个主要过程? 例题： 求图示结构综合结点荷载。 解： 0 0 1 2 3 4 2 3 4 0 0 5 2 x y x x 1 2 x y x x 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 4 0 0 5 0 0 1 2 3 4 4、结构等效结点荷载 5、直接作用在结点上的荷载 6、综合结点荷载 练习： 求图示结构综合结点荷载。 1 2 3 4 5 6 2 x y x 1 2 x y x x 3 x x 1 1 i 平面梁单元 i j x j ui uj Mj Mi Yi θi Yj θj Xj Xi vi vj 如果考虑轴向变形:6个方程 思考题:为什么纵向位移只采用一次函数? 得到6个方程,写成如下矩阵: 一、结构的离散化 *单元划分的原则 *单元划分举例 杆系结构 实体结构 计算精度 计算机容量 1 2 3 4 8 5 7 6 1 2 3 4 5 6 7 P P q l q l/2 第四节　有限元分析的实现 二、离散结构应注意的问题 1）约束 固支：转角为0 X方向位移为0 Y方向位移为0 固定：X方向位移为0 Y方向位移为0 滑动：Y方向位移为0 自由度缩减：主从约束 简要回顾前段学习 物理系统 有限元模型 复杂的工程实际 问题加以简化 整体——单元——整体 平面梁单元变形示意图 建立梁单元形函数 ui uj Mj Mi θi θj vi vj i j x y i j Yi Yj Xj Xi 梁单元变形用三次多项式描述，其多项式系数为梁单位的节点位移：挠度和转角 如何保证的位移函数是否是真实的解或接近真实？ 最小势能原理保证的位移函数是真实的解或接近真实！ 得到6个方程,写成如下矩阵: 如何实现：由分到合 ？ 三、如何实现由分到合？ Qj Fxj Qi Fxi Mj Mi 单元内力与位移的矩阵方程 j i i j E,A,I,l x y i j x 1 2 2 1 2 3 3 2 单元内力 P 2l 2 2 1 1 3 跨径为2l简支梁，划分为3个结点，2个单元 写出两个单元的刚度方程 展开上页矩阵 结点内力与结点外力关系 两个匡内位移？ 如何组合？形成简支梁的总体矩阵 P 2l 2 2 1 1 3 2 3 2 1 1 节点平衡计算示意图 下划红线为上页匡图内合并，实现了由分到合，写成矩阵形式如下页 对象体的外力 1 2 2 1 2 3 3 2 四、整体分析 位移条件 平衡条件 2 3 2 1 1 五、边界条件 P l 2 2 1 1 3 剩下6个方程 荷载列阵 上述过程至解上面的方程实现了有限元由分到合的过程，求解上面的方程，就是有限方法的整个求解过程 思考题如图所示的门形框架如何组合？ 六、图示连续梁整体刚度矩阵。 整体刚度矩阵 1 2 2 1 2 3 3 2 2 3 3 2 1 1 3 4 4 3 单元刚度矩阵 4 4 2 2 1 1 3 3 4 为多少阶矩阵？ 解方程，有很多方法，一般采用上三角分解 在线性代数中学习过。主要由计算机完成，或自编程序由计算机完成