浙江大学99-06年研究生数学分析试题.doc

浙江大学1999年研究生数学分析试题 求极限 在平面上求一点，使它到三条直线及的距离平方和最小 计算二重积分，其中由曲线 所围城的区域 设在时连续，，并且，，试求函数 设函数连续，若有数列使，则对A，B之间的任意数，可找到数列，使得 设，证明不等式 设函数在，试证明：并利用上述等式证明下式 从调和级数中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的 浙江大学2000年研究生数学分析试题 一．（共10分）(1)求极限 (2)设 二．（共10分）1．设 2．在上连续，在内存在，试证明存在，使得 三．（共15分）1．求数项级数的和 2．试证明在上的连续函数 四．（共15分） 1．设方程组，确定了可微函数，试求 2．设，求 五．（共30分） 1．计算定积分 2．求以曲面为顶，以平面为底，以柱面为侧面的曲顶柱体的体积 3．设表示半球面的上侧，求第二类曲面积分 六．（共20分）1．将函数 展开成级数 2．求级数的和 3．计算广义积分 浙江大学2000年研究生数学分析试题 一．（共10分）(1)求极限 解：原式= (2)设 解：，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解就按照这个数列来进行即可。 二．（共10分）1．设 证： 2．在上连续，在内存在，试证明存在，使得 分析：考虑函数即可 三．（共15分）1．求数项级数的和 分析：S=2S-S 2．试证明在上的连续函数 四．（共15分） 设方程组，确定了可微函数，试求 分析：用隐函数组的方法求解； 设，求 分析： 五．（共30分） 计算定积分 分析：令t=cosx，I=0。 求以曲面为顶，以平面为底，以柱面为侧面的曲顶柱体的体积 分析：，其中，D={(x,y)| }. 设表示半球面的上侧，求第二类曲面积分 分析：使用高斯公式，则J=. 六．（共20分）1．将函数 展开成级数 分析：直接使用的定义公式； 级数的和 分析：使用幂函数中的公式求解； 计算广义积分 分析：原式=+=[+] 浙 江 大 学二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题 一、（共30％） （A）（10％）用“语言”证明； （B）（10％）给出一个一元函数，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之； （C）（10％）设为二元函数，在附近有定义，试讨论“在处可微”与“在附近关于、的偏导数都存在”之间的关系，必要时，请给出反例。 二、（共30％） （A）（5％）设，数列由如下递推公式定义：，，，，，，求证：。 （B）（5％）求。 （C）（5％）求，，，，，，（当时）。 （D）（5％）求不定积分。 （E）（5％）证明：在上连续可微。 三、（共20％） （A）（10％）求第一型曲面积分，其中。 （B）（10％）设、、为三个实数，证明：方程的根不超过三个。 四、（共20％） 设，求证： （A）（10％）对任意自然数，方程在内有且仅有一个正根； （B）（10％）设是的根，则。 浙江大学2003年研究生数学分析试题 1．（15分）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之。 2．（15分）设在上一致连续，在上连续，且。 证明：在上一致连续。 3．（15分）设在上有二阶连续导数，且，当时。 证明：在内，方程有且只有一个实根。 4．（20分）设连续，，且（常数），求，并讨论 在处的连续性。 5．（10分）定义为 ， 证明：。 6．（10分）给出Riemann积分的定义，并确定实数的范围使下列极限收敛。 7．（20分）证明： 函数项级数在上一致收敛，但是对任意非绝对收敛； 函数项级数对任意都绝对收敛，但在上非一致收敛。 8．（45分）计算 1）（15分）； 2）（15分），其中为平面曲线所围成的有界闭区域。 3）（15分），其中 2003年浙江大学数学分析试题答案 一、当时， 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列，， 所以， 二 、当时，，当时， 对上述当时，且 当时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以时，当时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 时，，取即可。 三、由得所以递减， 又，所以，且，所以必有零点，又递减，所以有且仅有一个零点。 四、， ， ，在连续。 五、当时，不妨设， = 当时， === = 六、J是实数，当时，当时， ，当时，该积分收敛。 七、有界，在上单调一致趋于零，由狄利克雷判别法知，在上一致收敛，与同敛散，所以发散； 当时，绝对收敛，当时，绝对收敛； ，所以不一致收敛 八、1. ，当时， 2. , 3. J= 浙 江 大 学二〇〇四年攻读硕士研究生入学考试试题 一．（15分）设函数在区间上有定义。试证明：在上一致连续的充要条件是对区间上任意的两数列与，当时，有。 二．（15分）设函数在区间内具有直到三