定积分及其应用习 题课.pptVIP

一、与定积分概念有关的问题的解法 说明: 例2. 求 例3. 例4. 证明 例7. 注意 f (0) = 0, 得 例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程 二、有关定积分计算和证明的方法 例9. 求 例10. 选择一个常数 c , 使 例11. 设 例12. 如图, 曲线 C 的方程为 例13. 若 因为 例14. 证明恒等式 例15. 证明: 令 思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ? 例16. 例17. 设 例19. 求抛物线 例20. 设非负函数 又 例21. 过坐标原点作曲线 例22. 证明曲边扇形 例23. 求由 例6. 且由方程 确定 y 是 x 的函数 , 求 解：方程两端对 x 求导, 得 令 x = 1, 得 再对 y 求导, 得 故 求可微函数 f (x) 使满足 解: 等式两边对 x 求导, 得 不妨设 f (x)≠0, 则 解: 令 则 代入原方程得 两边求导: 可见 f (x) 应为二次多项式 , 设 代入① 式比较同次幂系数 , 得 故 ① 再求导: 1. 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法 2. 注意特殊形式定积分的计算 3. 利用各种积分技巧计算定积分 4. 有关定积分命题的证明方法 思考: 下列作法是否正确? 解: 令 则 原式 解: 令 则 因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使 即 可使原式为 0 . 解: 解: 是它的一 个拐点, 线, 其交点为(2,4), 设函数f (x)具有三阶连续导数, 计算定 积分 直线 l1与 l2 分别是曲线C在点(0, 0)与(3, 2)处的切 (2005 考研) ＝0 4 3 2 1 1 2 3 4 x O 解: 令 试证 : 则 对右端第二个积分令 综上所述 证: 令 则 因此 又 故所证等式成立 . 试证 使 分析: 即证 故作辅助函数 至少存在一点 即 在 上连续, 在 至少 使 即 因在 上 连续且不为0 , 从而不变号, 因此 故所证等式成立 . 故由罗尔定理知 , 存在一点 如果能, 怎样设辅助函数? 要证: 提示: 设辅助函数 例15 设函数 f (x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 ?, 使 (3) 在(a, b) 内存在与 ? 相异的点? , 使 (2003 考研) 证: (1) 由 f (x)在[a, b]上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 (2) 设 满足柯西中值定理条件, 于是存在 即 (3) 因 在[a, ?] 上用拉格朗日中值定理 代入(2)中结论得 因此得 例16 题 证: 设 且 试证 : 则 故 F(x) 单调不减 , 即② 成立. ② 例18. 设 在 上是单调递减的连续函数， 试证 都有不等式 证明：显然 时结论成立. (用积分中值定理) 当 时, 故所给不等式成立 . 明对于任何 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 且为最小点 . 故所求切线为 得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 解: (1) 由方程得 面积为 2 , 体积最小 ? 即 故得 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小值点, 因此 时 V 取最小值 . 轴围成平面图形D. (1) 求 D 的面积; (2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积. 解: (1) 设切点的横坐标为 则所求切线方程为 由切线过原点知 的切线. 该切线与曲线 因此 故切线方程为 D 的面积为 1 (2003考研) (2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积. 切线、x 轴及直线 所围三角形绕直线 旋转所得圆锥的体积为 曲线、x 轴及直线 所围图形绕直线 旋转所 因此所求旋转体体积为 1 得旋转体体积为 * 第六章 定积分 嘉兴学院 * 第*页 定 积 分 及 其 应 用 习 题 课 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 广义积分 定积分 定积分 的性质 定积分的 计算法 牛顿-莱布尼茨公式 一、主要内容 定积分的应用 1、问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积A） 实例2 （求变速直线运动的路程） 方法:分割、求和、取极限. 2、定积分的定义 定义 记为 可积的两个充分条件： 定理1 定理