第二节 可测函数的收敛性.pptVIP

第二节 可测函数的收敛性 ⒈函数列的几种收敛定义 ⑶几乎处处收敛: 记作 (almost everywhere） ⑸依测度收敛: 记作 注：从定义可看出， 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外） 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何 不依测度收敛 ⒉几种收敛的区别 fn不几乎一致收敛于f fn不几乎一致收敛于f （2）依测度收敛但处处不收敛 依测度收敛但处处不收敛 收敛的联系（叶果洛夫定理的引入） ⒊三种收敛的联系 几乎处处收敛与依测度收敛（Lebesgue定理） * * 第四章 可测函数 主讲：胡努春 ⑵一致收敛: 注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制 fn(x)=xn ⑴点点收敛: 记作 1-δ 例：函数列 fn(x)=xn , n=1,2,… 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-δ,1),在留下的集合 上一致收敛 fn(x)=xn 即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 ⑷几乎一致收敛:记作 (almost uniformly) 依测度收敛 说明：当n越大，取1的点越多，故{fn(x)}在R+上处处收敛于1 （1）处处收敛但不依测度收敛 n 在R+上处处收敛于 f(x)=1 , 所以{fn(x)}在R+上不依测度收敛于1，另外{fn}不几乎一致收敛于1 几乎一致收敛:记作 (almost uniformly) 即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛 任意 （ ） 适当小 小 即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛 不几乎一致收敛于f(x)=1 n 0 1 f1 f6 0 1/4 ? 3/4 1 0 1/4 ? 3/4 1 0 1/4 ? 3/4 1 0 1/4 ? 3/4 1 f7 f5 f4 0 ? 1 f3 0 ? 1 f2 0 1/8 1/4 ? 1 f8 ⑵ 取E=(0,1], n=2k+i,0≤i2k,k=0,1,2,3,… 说明：对任何x∈(0,1] , {fn(x)}有两个子列，一个恒为1， 一个恒为0，所以{fn(x)}在(0,1]上处处不收敛； 例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-δ,1),在留下的集合 上一致收敛 1-δ fn(x)=xn 即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 ⑴几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理） 设mE+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， （即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛） 即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 引理：设mE+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， 证明：由于 为零测度集， 故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有： 关于N 单调减小 设mE+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， * * *