【习题1】 如图所示,A、B、C、D是一个凸四边形的四个.docVIP

【】 如图所示，A、、、D是一个凸四边形的四个顶点，在ABCD所在平面上求一点P，使得PA+PB+PC+PD最小． 解析欲使PA+PB+PC+PD“最”小，则P点应处在一个特殊的位置上．先作猜想，P 应是AC、BD的交点，后再证明．因为“最”字隐含着“不等”之意，故而证明应是关于不等量的证明．线段不等关系的证明一般均是利用三角形三边关系来证，所以证法由此而出． 易错点 缺乏“猜想”，无从下手． 【】(1)如图(1)，已知：P是△ABC内任意一点．求证：AB+APB+PC (2)如图(2)，已知：D，E是△ABC内两点．求证：AB+ACBD+DE+C． 本题主要考查三角形的三边关系．(1)延长BP交AC于D；(2)由于求证DE向两边延长分别交AB，AC于M，N．证明：(1)延长BP交AC于D． 在△ABD中，AB+ADBD在△CDP中，CD+PDPC； 两不等式相加得，AB+AD+CD+PDBD+PC， 即AB+AC+PDPB+PD+PC， 以ABACPB+PC． (2)将DE向两边延长，分别交AB，AC于M，N． 在△AMN中，AM+ANMN；在△BDM中，MB+MDBD； 在△CEN中，CN+NECE； 上述三个不等式相加可以得到AM+AN+MB+MD+CN+NEMN+BD+CE, 即(AM+MB)+(AN+CN)+MD+EMD+DE+NE+BD+CE。 所以AB+ACBD+DE+EC ‘ 要证明线段的不等关系时，通常利用三角形三边关系定理及推论，通过(或与求证有关的量)移到同一个或关系密切的几个三角形中． 【】，在△AB中，PBC上一点，， 解析 方法一：根据题设条件，可用代数方法分别求出PB·PC和AP的范围；方B为坐标原点，BC所在直线为轴建立直角坐标系，分别写 A，C的坐标，P在线段BC上． 证法1：由题知ABBCAC，所以． 又因为，且P为BC上一点．所以 因为AB，AC=，所以，所以．设PB为，则PC为(2--a)． 所以PB·PC=a(2--a)=一()≤1． 所以BP·PC 证法2以B为原点，BC所在直线为轴，建立直角坐标系，使点A落在第一象限，设A），，由两点间距离公式， 所以 因为 所以 点评 有关线段和角的不等关系的证明问题，经常要用三角形的有关性质，此外还可以用代数法(证法1)与解析法(证法2)，用解析法时建立合适的直角坐标系是关键，如果坐标系建立不当，运算时就会比较复杂．