【精品】课件---第四节 换元法、分部积分法.pptVIP

一、换元公式 第三节 定积分的换元法和分部积分法 二、 定积分的分部积分法 * 定理 不定积分的换元法 第二类换元公式 第一类换元公式 一、定积分的换元法 证明：设 由不定积分换元法有 几点注记： （1）换元的基本思路是方便有效地找出被积函 数的原函数。这与不定积分的换元思路相同。 （3）同不定积分的换元法不同的是，在用换元 法求出原函数后，不必代回原来的变量，这使 问题变得更加方便、简单。 （2）换元的同时一定要相应地变换积分的上、 下限。 （4）同不定积分一样，d x 可看作对 x 的微分 . （5）上述换元公式也可反过来使用。 其中 例1：求积分 解： 令 当 x = 0 时，t = 0， 当 x = 8 时， 对换元法中的条件常用观测法加以验证。 在 [ 0 , 2 ] 上， t = 2， 连续可导且单调，所以 例2：求积分 解：令 想一想，为什么不能取 t 的范围为 例3：计算 解： × 例3：计算 解： 例4：证明 （1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数， （2）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为奇函数， 证明： 对右边第一个积分作变换： 证明： 对右边第一个积分作变换： 即 （1）若 f (x) 为偶函数，即 （2）若 f (x) 为奇函数，即 即 例5：求 解：设 例6：求 解： 例7 计算 解：原式 换元时，若不写出代换变量，则不要换上、下限。 例8 计算 解 令 原式 原式 例8 计算 解 令 原式 = 奇函数 例9 计算 解 原式 偶函数 单位圆的面积 证 （1）设 （2）设 可以证明 例11：设 解： 课堂练习：P241，1(1,4,7)，3(1,5,6),4(1,3) 设 u = u (x) , v = v(x) 在区间 [ a , b ] 上有连续导 数，则 （1） （2） 几点注记： （1）使用定积分的分部积分公式的方法或技巧 同不定积分的情形完全相同，其目的还是要快 捷、方便地求出原函数。 （2）使用分部积分法不需要变换积分上、下限. （3）分部积分法常与换元法结合使用。 例1：计算 解： 例2：计算 解： 例3：求 解：幂函数与三角函数乘积的积分，可考虑用 分部积分法，设法去掉 x 。 例4：设 f (x) 有一个原函数 ，求 解： 例5 计算 解 例6No 设 求 解 * * * * *