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第二篇 力学的变分原理 第四章 高斯最小拘束原理 应用力学研究所 李永强 东北大学理学院应用力学研究所 李永强 第二篇 力学的变分原理 力学原理的分类，按数学表达式形式分： 1）不变分原理：反映系统真实运动的普遍规律 微分原理（形式）：只说明某一瞬时系统的运动规律，如牛顿第二 定理，达朗伯原理； 积分原理（形式）：能够说明一有限的运动过程，如能量守恒定律 2）变分原理：它只是提供一种准则，根据这种准则，可把系统的真实运动与约束所允许的可能运动区别开，从而找到系统的真实运动。 微分形式的变分原理：准则是对某一瞬时而言的，如动力学普遍方程，高斯最小拘束原理； 积分形式的变分原理：准则是对于一有限过程而言的，如哈密顿原理，但有的变分原理，既具有微分形式又具有积分形式，如赫兹最小曲率原理。 东北大学理学院应用力学研究所 李永强 第四章 高斯最小拘束原理 §4.1 高斯最小拘束原理 §4.2 拘束的物理意义 指定瞬时，位形，时间间隔，微分方程，初始条件，约束条件 §4.1 高斯最小拘束原理 1829年数学家导出 1．最小拘束原理 在理想约束条件下，系统在某瞬时，真实运动与位置、速度、约束条件均相同，但加速度不同的可能运动相比较，其真实运动应使“拘束”Z取最小值，即 2．“拘束”定义 ：系统中质点的质量； ：作用在质点上的主动力； ：质点的加速度 §4.1 高斯最小拘束原理 3．原理的证明 设 是真实运动的加速度； 是约束容许下的可能加速度 对Z进行变换 因 ,则拘束的变化为 §4.1 高斯最小拘束原理 由高斯形式的动力学方程可知 当 时 表明在约束容许下的可能运动与真实运动之差总是取正值，即真实运动使“拘束”取极小值。 4. 注意： 1）约束的变更是通过改变瞬时 t 的加速度值得到的; 2）在 变更时，其位形坐标及速度均保持不变; 3）高斯加速度变分：在高斯原理中的可能运动是通过改变瞬时 t 的加速度的得到的。至于瞬时 t 的坐标及速度则被认为是不变的，这种特殊条件下的变分称为高斯加速度变分。 §4.2 拘束的物理意义 设一质量为m的质点在某一瞬时 t 位于A点，速度为v，主动力为F，约束力为N。 假想质点作不受约束的自由运动，其加速度只由主动力 F 单独引起。经一微小的时间间隔Δt，质点从A运动到B，则有 当有约束存在时，在主动力 F 和约束力 N 共同作用下，引起质点的加速度为a，经过Δt 时间，质点沿约束曲面的切平面从A运动到C，有: §4.2 拘束的物理意义 质点的实际运动与假想的自由运动的位移偏差为 显然这一偏差是由约束引起的，式中 的可以看作是约束对质点运动施加约束作用的度量。高斯定义质点系的“拘束”为 将此式与位移偏差比较，可知 项是约束作用大小的度量，取其平方即为模的大小，并用质点质量加权。即“拘束”的物理意义可理解为： 系统真实运动偏离自由运动的度量，也是约束作用大小的度量。 §4.2 拘束的物理意义 例4-1 应用高斯最小拘束原理推导单摆的运动微分方程 解：设摆长为l，质点的质量为m，质点的拘束为 对拘束Z取变分并令其为零，注意到为高斯变分，即仅对 取变分 则 * * 应用力学研究所 李永强