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2011 第10 届女子数学奥林匹克试题.pdf
《数学奥林匹克报》 Mathematical Olympiad Express 2011 第 10 届女子数学奥林匹克 2011 年 8月 1 日深圳第三高级中学 8∶00~12∶00 1 1 1 1、求出所有的正整数n ,使得关于x ,y 的方程 + 恰有 2011 组满足x ≤y 的正整数解 x , y 。 ( ) x y n 2、如图 , 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ,边AB 、CD 的中垂线相交于点F , 点M 、N 分别为边AB 、CD 的中点,直线EF 分别与边B C 、AD 相交于点P 、Q , 若MF ⋅CD NF =⋅AB ,DQ ⋅BP AQ =⋅CP ,求证: PQ ⊥B C 。 A Q D M E N F B P C 1 1 1 1 9 25 3、设正数a ,b ,c ,d 满足abcd 1,求证: + + + + ≥ 。 + + + a b c d a b c d 4 4、有n (n ≥3 )名乒乓球选手参加循环赛,每两名选手之间恰比赛一次(比赛无平局)。 赛后发现,可以将这些选手排成一圈,使得对于任意三名选手 A 、B 、C , 若A ,B 在圈上相邻 , 则A ,B 中至少有一人战胜了C ,求n 的所有可能值。 普及数学知识,传播奥林文化,快递竞赛信息。 《数学奥林匹克报》 Mathematical Olympiad Express 2011 第 10 届女子数学奥林匹克 2011 年 8月 2 日深圳第三高级中学 8∶00~12∶00 5、给定非负实数a ,求最小实数f f a ,使得对任意复数z ,z 和实数
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