求解线性方程组一种新方法.pdfVIP

维普资讯 第2O卷第6期 计 算 力 学 学 报 Vo1．20。No．6 2003年 12月 ChineseJournalofComputationalM echanics December2003 文章编号 ：1007—4708(2003)06—0715—06 求解线性方程组 的一种新方法 史文谱 ～， 刘迎 曦 ， 褚京莲。， 郭淑红。 (1．烟 台大学 机 电(汽车)工程学院，山东 烟 台 264002； 2．大连理工大学 工程力学系，辽宁 大连 116023；3．烟 台市技术学院 基础系，山东 烟 台 264002) 摘 要 ：将线性方程组 的一般系数矩阵转化为对称正定矩阵，从而把原线性方程组 的求解 问题转化为一个等价 变分 问题 的极少值点寻优 问题 ，借助对分寻优法进行求解 。算例结果表 明，本文方法不仅对于 良态线性方程组的 求解 问题是有效 的，而且对于病态线性方程组 的求解 问题 同样是有效 的。 关键词 ：一般系数矩阵；对称正定矩阵；良态线性方程组 ；病态线性方程组 ；变分 问题 ；对分寻优法。 中图分类号 ：0241．6 文 献标 识码 ：A 更何况条件数本身要求系数矩 阵是满秩方阵，由于 1 引 言 其计算上的不方便 ，所以通过条件数来判断方程组 在 自然科学和工程实际应用 中，有许 多问题 的 的病态性无论从适用范 围、有效性和困难程度上来 求解最终都转化为线性方程组的求解问题 。例如曲 说都不总是可取 的。鉴于 目前很难给出能够统一定 线拟合 中常用 的最a乘法 、样条 函数插值 ，解 非 量评判方程组病态性程度 的准则 ，因而直接寻求不 线性方程组 ，求解偏微分方程的差分法 、有 限元法 仅适于非病态线性方程组 ，而且适于病态线性方程 和边 界元法 以及 目前工程实践 中普遍存在 的反演 组 的迭代求解方法将是非常有意义的。本文从一般 问题 等。鉴于线性方 程组 问题 在理论 上的重要性和 相容可逆线性方程组出发 ，首先将其转化为一个与 在工程实际应用 中的大量存在 ，多年来人们在这方 之等价 的具有对称正定可逆系数矩 阵的线性方程 面做 了广泛深入 的研究和探讨 ，并取得了许多有价 组 ，其次再将它化为一个等价的变分 问题的极小值 值 的成果 [】 。不过 ，由于模 型误差 、测量误差 、计 点寻优 问题 ，再利用本文提 出的对分寻优法进行求 算误差 (舍人误差)等各种形式误差 的存在 ，常常使 解 。通过一般 良态线性方程组 、高阶病态 的Hilbert 获得的线性方程组 中的系数矩 阵和非齐次项信息 线性方程组 以及Pascal线性方程组算例 的计算表 具有某种程度 的近似性 (即扰动性)，这种近似性显 明，本文方法是切实可行 的。 然会使得线性方程组 的求解不大容 易得到真实 的 2 数学模型及相关讨论 理论解 ，此时 ，不同的求解方法 由于 (迭代)运算机 理不一样 ，求解过程 中误差积累程度就不一样 ，因 本文考虑如下形式的相容线性方程组 ： 此必然会使得不 同求解方法得到 的解具有不 同的 X — b (1) 逼近真解的误差程度 ，尤其对那些具有病态性 的方 程组而言 ，许 多现有的方法是失效 的，因为它们不 其 中 A一 ( ) ∈R 是 ，z×，z阶的一般非奇 具有抗病态性 ，因而它们求得 的解将完全失真