复变函数与积分变换试题及答案1.docVIP

复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题：（每题3分） 1.的三角表达形式： ； 指数表达形式： ； 几何表达形式： . 2． ； 3. 设,为曲线的长度，则 . 4．级数的和函数的解析域是 。 5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是 。 二、 判断正确与错误（画对错号，每题3分） 1．因为，所以在复平面上有界。 （ ） 2、若函数在处解析，则也在解析。 （ ） 3．如果u(x,y)，v(x,y)的偏导数存在，那么f(z)=u+iv可导。 （ ） 4．在zo处可导的函数，一定可以在zo的邻域内展开成罗朗级数。 （ ） 5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性 （ ） 三、解答题（每题8分） 1．设，则在何处可导？何处解析？ 2．已知f（z）的虚部为，求解析函数. 3.求积分 为沿单位圆的逆时针一周的曲线。 4.求，其中为。 5.求，其中为。 6．把函数在内展开成罗朗级数。 7．指出 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。 8.求将单位圆 | z | 1内保形映照到单位圆 | w | 1内， 且满足， 的分式线性映照。 四、利用拉氏变换求解微分方程（6分） （提示：） 试题答案 一、填空题：（每题3分） 1.的三角表达形式：; 指数表达形式： ； 几何表达形式：. 2．； 3. 设,为曲线的长度，则. 4．级数的和函数的解析域是。 5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是：保圆性、保对称性、；带形域到角形域；角带形域到角形域。 二、 判断正确与错误（画对错号，每题3分） 1．因为，所以在复平面上有界。 （×） 2、若函数在处解析，则也在解析。 （√） 3．如果u(x,y)，v(x,y)的偏导数存在，那么f(z)=u+iv可导。 （×） 4．在zo处可导的函数，一定可以在zo的邻域内展开成罗朗级数。 （×） 5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性 （×） 三、解答题（每题8分） 1．设，则在何处可导？何处解析？ 解： 2．已知f（z）的虚部为，求解析函数 解： 3.求积分 为沿单位圆的逆时针一周的曲线。 解：设 4.求，其中为。 解： 5.求，其中为。 解： 6．把函数在内展开成罗朗级数。 解： 7．指出 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。 解： 8.求将单位圆 | z | 1内保形映照到单位圆 | w | 1内， 且满足， 的分式线性映照。 解：设分式线性映照为 四、利用拉氏变换求解微分方程（6分） （提示：） 解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得 2 . .