非线性方程组牛顿-整体松弛并行多分裂法.pdfVIP

第25卷 第6期 工 程 数 学 学 报 v01．25No．6 2008年12月 CHINESEJOURNALOFENGINEERING MATHEMATICS Dec．2008 文章编~-：1005—3085(2008)06—1107—09 非线性方程组的牛顿一整体松弛并行多分裂法术 张理涛 ，黄廷祝 ， 谷同祥。 f1一电子科技大学应用数学学院，成都 610054； 2．北京应用物理与计算数学研究所，计算物理实验室，北京8009信箱 1000881 摘 要：松弛技术是提高分裂迭代法收敛速度的一种基本技术。本文在前人工作的基础上，把求解线性方 程组的松弛型矩阵多分裂迭代法推广到了求解非线性方程组，并通过引入多个松弛因子，提出了 整体松弛的概念和方法。进而，文中研究了牛顿一整体松弛型矩阵多分裂TOR迭代法，建立了 其局部收敛性定理，给出了收敛速度的估计。对于本文提出的求解非线性方程组的牛顿一整体 松弛型多分裂TOR迭代法，当选取近似最优参数时，我们的方法将比其他方法有更快的收敛速 度。 关键词：线性代数方程组；非线性方程组；并行多分裂；整体松弛法：H．矩阵 分类号：AMS(2000165F10 中图分类号：O241．6 文献标识码：A 1 引言 随着现代科学技术的迅速发展，科学与工程计算的许多领域中所出现的非线性问题越来越 多，关于各种非线性问题的研究也 日益受到人们普遍高度的重视，各门交叉学科中的非线性问 题已经逐渐成为科学研究的热点之一。利用计算机求解各类非线性问题，最终总可归结为非线 性代数问题的数值近似，而非线性代数方程组的数值求解，则是这些非线性代数问题的数值近 似的基础和关键所在。 考虑非线性方程组 F(x)=0，F：QcRⅣ一RⅣ， (1) 其 中F是非线性映象，Q是RⅣ中任一有界集， 是Q的一个向量。这里，F 可以是光滑函 数，也可以是非光滑或半光滑函数。在本文中，我们主要考虑 F 为光滑的情形。 对于光滑非线性方程组f1)的数值求解，已经有许多学者做了大量的广泛深入且富有成效 的研究工作，并且已经得到了一系列使用高效的计算方法，见文献[1—8】。尽管如此，对于非 线性方程组的算法设计和理论分析仍然远远不如线性方程组成熟和深刻。大多数解非线性方 程组的迭代法，其构造思想或者来源于解方程组的迭代法，或者来源于解线性方程组的迭代 法，而且，在非线性方程组迭代法的研究中，常常是把方程式作为模型的，因为方程式情形 得到的结论，往往可以推广到方程组情形。而对于求解线性方程组，自从O’Leary和White基 于矩阵的多分裂提出了并行多分裂迭代法[9]，随后许多文章都对该方法进行了研究并给出其 收敛性定理：Frommer和Mayer[ol、Wang[u】和Chang[】分别研究了当系数矩阵是 日矩阵时 的f局部松弛的1SOR、AOR和TOR法。Bai[13]给出了SOR、AOR和JOR松弛法敛散速度的 收稿日期：2006-12—01．作者简介：张理涛(1980年3月生)，男，博士．研究方向：数值代数与科学计算及应用． 基金项目：国家自然科学基金(1O771030)：教育部科技重点项 目(107098)：电子科大 “中青年学术带头人十创新 团队”基金：高校博士点专项科研基金(20070614001)；． 1108 工 程 数 学 学 报 第25卷 比较。Cao[M】分析了不同权矩阵的收敛性。文献[15】将这类方法推广到解非线性方程组，构造 和研究了牛顿一并行多分裂算法。本文在此基础上，通过引入多个松弛因子，提出了整体松弛 的概念和方法，进一步研究了牛顿一整体松弛并行多分裂法，并建立了局部收敛性定理，估计 了收敛速度。解方程组(1)的牛顿法为 + ： 一