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攻读硕士学位研究生《代数学》 考试大纲 主讲教师：吕新民 课程性质：基础课，专业基础课；学分：3；学时：48 一、课程的地位与作用 代数学不仅是工科院校理科硕士学位研究生的公共基础课，也是工科院校某些专业工科硕士学位研究生的公共基础课，同时，还是理科专业从事代数方向研究的硕士学位研究生的专业基础课。代数学主要研究具有运算的集合的性质，即所谓的代数性质，包括群论，环论，域论及模论。代数学的理论和方法不仅广泛地应用于数学学科本身，同时也广泛地应用于其它各学科领域。因此，代数学作为硕士学位研究生的公共基础课或专业基础课，是每一位从事理科学科研究人员必需掌握的，同时也是某些从事工科学科研究人员必需掌握的。随着科学技术的发展和不断的深入，这门基础课程将显示出它无可替代的作用，发挥出它的巨大潜能。 二、课程的教学目标与基本要求 代数学主要研究具有运算的集合的性质，即所谓的代数性质。具体而言，代数学主要研究以下四类代数结构：群论（具有一种运算的代数），环论，域论（具有两种运算的代数）及模论（具有三种运算的代数）。其中对群论的研究主要侧重于群的结构理论，即Sylow三大定理及其应用，对环论的研究主要侧重于交换环的局部化及主理想整环和欧几里德环的代数性质的研究，对域论的研究主要侧重于域的扩展，包括代数扩展和分裂扩展，模论是现代代数学结构理论研究的主要工具，在对模论的讲授上主要侧重于其方法上。本课程的教学以古典代数的主要研究对象为主线，增加现代代数学结构理论研究的工具，其目的一方面是培养学生抽象的逻辑思维能力和创新能力，另一方面是培养学生应用代数学知识解决实际问题的能力。 三、主要内容 Chapter 1 Preniminaries Section 1.1 Sets and Maps Section 1.2 Relations and Partitions Section 1.3 Induction and Algorithm Section 1.4 Operation and Algebra Section 1.5 Exercises Chapter 2 Groups Section 2.1 The Basic Concepts of Groups Section 2.2 Isomorphisms and Cayley’Theorem Section 2.3 Subgroups Generated by a Set Section 2.4 Cosets and Counting Section 2.5 Normality, Quotient Groupa and Homomorphisms Section 2.6 Exercises Chapter 3 The Structure of Groups Section 3.1 The Action of a Group on a Set Section 3.2 Cauchy Theorem Section 3.3 Sylow Theorems Section 3.4 Exercises Chapter 4 Rings Section 4.1 The Basic Concepts of Rings Section 4.2 Ideals of Rings Section 4.3 Homomorphisms and Basic Theorems Section 4.4 Localization of a Commutative Ring Section 4.5 Principal Ideals Rings Section 4.6 Euclidean Domains Section 4.7 Exercises Chapter 5 Fields Section 5.1 Extension Fields Section 5.2 Simple Extension Fields Section 5.3 Algebraic Extension Fields Section 5.4 Splitting Extension Fields Section 5.5 Exercises Chapter 6 Modules Section 6.1 The Basic Concepts of Modules Section 6.2 Homomorphisms and Basic Theorems Section 6.3 Exactness Section 6.4 Free Modules Section 6.5 Pro