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非线性年龄结构的人口动力学的最优控制 徐志兰 （绍兴文理学院数学系，浙江 绍兴312000 ） 摘要：本文研究的是有关年龄结构的非线性种群模型的问题。其中把人口出生率作为一个控 制变量，使用Ekeland 变分原理和正规锥体技巧研究最优控制的存在唯一性，以及一阶最 优条件。我们的结论推广了有关文献中一个众所周知的结果。 关键词：年龄结构；人口动力学；最优控制；种群模型； 1．引言 20 世纪以来，世界人口迅速发展，给生态环境和经济增长带来了巨大的压力。人口数 量是全世界普遍关注的问题之一。因此，人口的预报和控制有着极其重要的意义。而对人口 定量分析，可追溯到300 年以前当时的格兰特（John Graunt,1662 ）欧拉（Leonhard Euler ， 1767）等。1788 年，英国经济学家和社会学家马尔莎斯（Thomas Robert Malthus 1766-1834 ） 发表《人口论》，建立了一个人口模型：P (t) Ae kt ，得出了人口按几何级数增加结论，而 这个模型对 19 世纪以前的人口拟合得很好，但长期预测是不合理的。他没考虑到自然资源 和环境条件对人口的影响。 考虑到自然资源和环境条件对人口的影响，荷兰生物学家威赫尔斯特（Verhulst ）提出 了一个新的假设：人口的净增长率随着P (t) 的增长而减小，且P (t) →P 当时，净增长率 m dP t P t ( ) ( ) 趋于零。因此人口方程可写成： r (1− )P (t) ，其中r 为常数，这就是逻辑斯蒂 dt P m 克模型。 上面的两个模型没涉及人口的年龄问题，而偏微分方程模型是准确的一种方法，人口方 ∂ ( , ) ∂ ( , ) ⎧p a t p a t + ( , ) ( , ) ⎪ ∂t ∂a −μ a t p a t ⎪ 程就是：⎨p (a,0) p 0 (a) ⎪ (0, ) ( , ) ( ) p t u a t P t ⎪ ⎩ ∂P (a,t) a 其中P (t) 表示该地区时刻t ，年龄小于 的人口总数，p (a,t) 人口年龄分布函数， ∂t μ(a,t) 是相对死亡率，u(a,t) 是相对出生率，以上是人口模型的三个模型。 由于人口对国家的政治经济和社会生活有着很大的影响，因此有越来越多的学者来研究 人口问题。有关年龄结构的人口动力学的最优控制问题的文献也不少，如[1]-[9]及其所引文 献，而这些文章的控制变量是迁入率，迁出率，人口出生率等，为了确定一个特殊且进步的 行为，最有效的方法是选择一个合适的出生率（10]）。[1]—[9]的学者们在处理人口出生控 制问题都是运用古典线性的Lotka −Mckendrick 模型，而忽略了居住地对人口的限制，人 的平均死亡率不仅与人的年龄有关，还与当前的人口基数有关，人口基数与外界有关，考虑 到这些因素，把系统： 1 p p ⎧∂ ∂