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圆的标准的方程和切线问题 董恒甫职校 孙宏萍 教学目标: 知识目标： 使学生掌握圆的标准方程和切线的探求过程和方法. 通过教学,使学生学习运用观察,类比,联想,猜测,检验等推理方法,提高学生运算能力,逻辑推理能力. 能力目标： 培养学生勇于探索,坚忍不拔的品质. 教学重点 根据条件求出圆的标准方程或圆的切线方程 教学难点 圆的切线的求法 教学过程: 前面我们学习了曲线和方程的关系，请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？ 建系、设点、列式、化简四步曲，用这个方法我们求出了圆心在原点，半径为5的圆方程。 用这个方法能否求出圆心在，半径为的圆方程 1．推导圆的标准方程: 圆的标准方程由哪些量决定？是否可以和平面几何中有关理论联系起来？ 例1 ：已知A（4，9）和B（6，3），求以AB为直径的圆的方程，并且判断点M（6，9）N（3，3）Q（5，3）是在圆上，圆内，圆外？ 由此可见，若点在圆 上，点的坐标与圆的方程有什么关系？点在圆外？点在圆内？ 在圆上( 在圆外( 在圆内( 2．直线与圆的位置关系 这道题研究了点与圆的关系，那么直线与圆的位置关系有哪些？相交、相切、相离。 相切是直线和圆的位置关系中比较常见，也比较重要的位置关系，在解析几何中我们研究曲线常常要求出切线的方程，你能求出这圆上一点的切线方程吗？ 例2．已知圆的方程：x2+y2=13，求经过圆上一点P（3，2）的切线方程 已知圆的方程：x2+y2=9，求经过圆上一点P（3，0）的切线方程 已知圆的方程：x2+y2=25，求经过圆上一点P（4，-3）的切线方程 已知圆的方程：x2+y2=13，求经过圆上一点P（-3，2）的切线方程 分组运算4小题。通过以上的运算同学们是否发现规律？ 若将已知条件中圆的半径改为ｒ，点改为圆上任一点，结论将会发生 怎样的变化？ 推广：这个问题相当于：已知：，求过圆上一点的切线方程。 猜测的结果是： 下面请同学们给予证明： 在证明的过程中要注意直线斜率不存在的情况，分类讨论。 切线斜率不存在，2) 半径斜率不存在，3) 切线和半径斜率存在 按照这个方法，若圆的方程是 ，求过圆上一点的切线方程？ 猜测这个结果，并给予证明。 猜测结果为 若切线及半径的斜率都存在， OP的斜率，所以切线的斜率 即切线方程为 若切线或半径的斜率不存在时，切线的方程也是上式。 我们发现，计算的结果与大家猜测的结论不同，问题出在哪里？ 通过方程变形，最后得出结论，与同学们猜测的结论一致！ 例3．求过点，且与圆相切的直线的方程． 解：设切线方程为，即， ∵圆心到切线的距离等于半径， ∴，解得， ∴切线方程为，即， 当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径， 故直线也适合题意。 所以，所求的直线的方程是或． 例4．已知一圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上， 求此圆的方程． 解：∵圆心在直线上，∴设圆的方程为， ∵圆与轴相切，∴， 又圆心到弦的距离为， ∴，∴，， 所以，所求的圆方程为或． 说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数），再用其余的条件求待定的系数； 3．课堂小结：1 经过圆上一点，有且只有一条切线 2 经过圆外一点，有两条切线 3 求圆的切线时，特别注意点与圆的位置关系，不能盲目的套用公式。 4．作业：课本第88页复习参考题第23题， 补充： 过点且与圆相切的直线的方程是 ． 已知圆：，求圆的在两坐标轴上截距相等的切线方程． 过圆外一点作直线与圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 已知一圆与直线切于点，且截轴所得弦长为，求圆的方程． 求经过点，且与直线、都相切的圆的方程． 教学设计： 1在探询圆的标准方程的过程中，引导学生用代数的方法研究平面几何中常见曲线——圆 2从简单到复杂，一般的，使用观察的，猜测，经验归纳等推理方法，运用一般的解题方法 求出圆：，求过圆上一点的切线方程。同时提出思考：若改变条件，若圆的方程是，过圆上一点的切线方程？ 在课堂上，通过问题和建议控制研究的方向和进程，帮助学生建立自信心，共同度过难关。 孙宏萍