例谈数列通项的常见求解策略.docVIP

用竞赛数学的方法解高考数列通项 浙江省湖州中学 李连方 （313000） 数列通项的求解是国内外数学竞赛和高考命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。而在近几年高考中关于数列通项的试题中，我们可以发现其与数学竞赛有着千丝万缕的联系。因此在高中经历过数学竞赛培训的考生，大都掌握了一些高中课本所不曾接触过的知识，在应对这些难度很大的问题就会感到轻车熟路，应对自如。本文借助一些高考试题，说明数学竞赛知识和方法在高考数列通项求解中的渗透。 一、不动点的渗透 在几年高考试卷中，不动点的知识应用频率非常高，对于形如的递推式求解通项，可利用特征方程，若此方程有两不相等的实根，则可构造数列等比，若此方程有两相等的实根，则可构造等差数列，从而解得的表达式。 例1（20006年全国Ⅱ卷）设数列的前项和为，且方程有一根为。求数列的通项公式。 分析：易得，且，将代入上式，得，利用特征方程解得，可构造，则，且，所以数列是公差为的等差数列。故，所以，因此数列的通项公式为。 二、特征根的渗透 对于形如的二阶递推式求通项，可先利用特征方程，若此方程有两不相等的实根，则可构造两数列等比和，分别解出通项与，再将、看成未知数，从而解出的表达式；若此方程有两相等的实根，则先解出，再利用“待定系数法”可解出的表达式。 例2（2005年广东卷改编）已知数列满足，（），若，求的值。 分析：利用特征方程，解得或，因此可将变形为，又由题意可知，所以数列是以公比的等比数列，则。同理将变形为，则数列是常数列，则。两式相减可得，故得。 三、待定系数法的渗透 对于形如、、（是常数）等递推式求通项类型的试题，在高考中出现的频率最高，在每年的各省市高考卷中都能找到其身影，而且其解题的方法众多，其中待定系数法不失一种简洁的方法。 例3（2006年全国Ⅰ卷）在数列中，， 。求首项与通项。 分析：由题意得，解得。又，即，设，利用待定系数法可得，又，所以数列是公比为的等比数列。所以，得。 四、取对数的渗透 在高中数学竞赛中，对于形如的高次递推式求通项，常常采取两边取对数，从而达到构造新数列解出的表达式。 例4（2005年江西高考卷）已知数列各项为正数，且满足，。（1）求证：； （2）求数列的通项公式。 分析：（1）略；（2）由变形为，由（1）可知，。令，则，两边取对数得，变形为，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故。得，因此有。 五、迭代法的渗透 迭代法在竞赛中运用多，如本文“三、待定系数法”中的几种类型，均可采用迭代法。对形如的高次递推式两边取对数后，若其新的数列首项为时，即新的数列不为等比数列，这时往往采用迭代法求解出的表达式。 例5（2002年天津高考）已知是由非负整数组成的数列，满足，，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。(1)求； (2)证明；(3)求的通项公式及其前项和。 分析：（1）；（2）将变形为，令（），则，且，两边取对数可得，①当为奇数时，，②。所以对于任意的均有，则必有。（3）略。 六、取倒数的渗透 一般地，对于形如的递推式求通项，虽然我们也可以利用不动点来解决，但是若两边取倒数则显得更简洁，而且避免烦琐的数学归纳法。 例6（2006年江西卷）已知数列满足：，且（），求数列的通项公式。 分析：两边取倒数得 ，化简可得，又，所以数列为公比为的等比数列，则，因此有。 七、平方或开方法的渗透 在数学竞赛中，经常会对已知的递推式平方或开方，进而得到新的递推关系，从而求解出原来数列的通项，而且可以避免了数学归纳法。 例7（1994年全国高考卷）设无穷数列的各项都是正数,是它的前项之和, 对于任意正整数,与 的等差中项等于与的等比中项, 求该数列的通项公式。 分析：由题意得，则两边平方化简可得，则有，两式相减得，化简得，故有（负值舍去），则，所以数列是公差为的等差数列，因此有。 以上介绍了几种常见的求解数列通项问题中涉及的竞赛方法，其基本思路是根据题设提供的信息，构建新的等差或等比数列，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。而且在近几年高考中，数学竞赛方法不仅仅在数列问题中有所渗透，其他它数学知识中渗透也非常多，这是因为数学竞赛对学生的逻辑推理能力、抽象概括能力、数据处理能力的培养和提高有着积极的作用，在平时的教学中，教师必要对学有余力而且有兴趣的同学进行适当的培训。 4