一个追及问题的8种解法.docVIP

物理追及问题的法 运动学中追及问题是高中物理比较难学的一个课题，但追及问题是培养思维、训练创新思维的一个较好的载体。教师们通常会用一些追及问题来训练学生的思维创新性与开拓性。现就一个追及问题谈几种数学解法，供师生教学时参考之用。 如图1所示，小船自岸边的A点沿与湖岸成α = 15°角的方向匀速向湖中驶去人自A点同时出发，先沿岸走一段再入水中游泳去追小船已知人在岸上走的速度为v1 = 4m/s，在水中游泳的速度为v22m/s，试求小船的速度至多为多大时，这人才能追上小船？ 船出发后经时间t被人追上船的位移为s = vt，又设人在岸上走用时为kt（0 k 1)，位移为s1= kv1t人在湖中游用时为(1– k)t，位移为s2 = (1 – k)v2t– 2ss1cosα，即 [(1 – k)v2t]2 = (kt)2 + [(1 – k)v2t]2 – 2kt (1 – k)v2tcosα， 将v1 = 4m/s、v2 = 2m/s、cos15° = 代入并化简得： 12k2 – [2(+)v – 8]k +( v2 – 4) = 0 因为0 k 1，则根判断式Δ = [2(+)v – 8]2 – 4×12(v2 – 4) ≥ 0 解得　v ≤ 2m/s或v ≥ 2(+1) m/s 题意其情景可知船的最小速度vmax = 2m/s。 解法2：三角函法 如图3所示，设人沿湖岸行走至Ｄ处入水去时，小船在湖中行至C处，人入水后在Ｂ处追上小船。 在ΔACD中，由正弦定理有＝；设人由A点走到D点所用时间为t，则AD = v1t、AC = vt，则＝。 在ΔBCD中，由正弦定理得＝；设人游过DB段所用时间为t′，v2t′、BC = vt′，＝。 由于v1 = 4m/s = 2v2，则代入化简后有：sin(θ + β) = 2sin(θ – α) 船行驶速度要尽可能大，则由可知=，即尽可能小。而θ越大，则AC越大；α为恒量，则θ越大，(θ – α) 也越大，且(θ – α)为锐角，则sin(θ – α)随(θ – α)增大而增大，因此sin(θ – α)最大时，sin(θ + β) = 1，sin(θ – α)最大值为0.5，此时对应的θ = 45°，得到β = 45°。则ΔBCD是等腰直角三角形，则有==，故vmax =v2=2m/s。 解法3：换元法 如图4所示，设人A→D→B在追船，t。为方便计算，过B作BC垂直于MN于C，且设BC = d，AC = l。设人入水时的运动方向与湖岸成θ角=+（）d 式中d、l、v1、v2是常量，显然运动时间t由θ决定研究函数即可知道所求最小时间（对应着船允许的最大速度）了。 将函数式y两边平方，化简整理后得到方程式： (y2v12v22 + v22)cos2θ – 2 v1v2cosθ + (1 – y2 v22) v12 = 0 此方程有实数解的条件是：判别式Δ ≥ 0，即有： 4v12v22 – 4(y2v12v22 + v22) (1 – y2 v22) v12 ≥ 0，解得y2 ≥ (v12 – v22)/( v12v22) = 0.25 则ymin = 0.5，代入y函数式解得cosθ = 0.5，则θ = 60° 因此，最短追及时间tmin= = 对应的最大船速为： vmax = ====v2=2m/s。 解法4：矢量图解法 以船为参考系，人和船是同时由A点出发的，则人在沿岸走时，船看到人正在由船所在位置逐渐“离去”，离去的相对速度为=。要人能追上船，即人能“回到”船上，则其“返回”的相对速度必须与反方向，返回的相对速度 为=。如图5所示，以MN线上的A点为起点作矢量v得K点；以A点为圆心，以v2的大小为半径作圆作直线AC，使它与MN线的夹角为α = 15°，设K点与圆上的任一点E的连线与AC线的交点为B，则AB表示船速，BK表示人相对船的“离开”速度，BE表示人相对船的“返回”速度显然，当KE与圆相切时，AB 线最长，表示船速最大KE与圆相切于E点，并与AC相交于B点；由于AK =AE（= 4m/s），∠AKF = 30°，∠ABE = 45°，即ΔABE为等腰直角三角形vmax =v2=2m/s。 解法5：图形解法1 如图，设人在D点入水并在B点刚好能追上小船人追上小船所用时间最少对应的小船速度最大D点两侧各有入水点C和E，使得在该处入水追船所用时间相等设C、E是D点两侧附近无限靠近D点的两点，并设分别从C、E点入水追小船所用总时间相等在BC段截取BF = BE，那么∠ BFE90°。从C、E点入水追小船所用总时间相等，CE段走与在CF段游泳所用时间相等v1 = CF/v2，所以cosθ = CF/CE = 0.5，θ = 60°。 因为C、E两点无限靠近D点，所以∠BDN