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分析力学-8--拉格朗日方程-能量积分.ppt
* 例1：如图，质量分别为m1、m2、m3的三个物块分别用不可伸长的轻绳相连。求体系的运动方程。 m3 m2 m1 解：4个运动物体作直线运动，需要4个坐标确定其位置。但有两个约束条件，仅有两个是独立的，选两个广义坐标。 m3 m2 m1 速度 加速度 m1 m2 m3 m3 m2 m1 解: 1.体系的自由度几个? 2个 2.广义坐标选什么? 3.动能和势能如何表达? 4.如何求解拉氏方程? 在平衡位置 令 当振幅不太大时， 略去高价小量，取 四、完整具势组的拉氏方程的第一积分 说明：同一力学体系存不存在循环坐标与广义坐标的选取有关 。 2、齐次函数的定义和欧拉齐次定理 定义：如果函数 的自变量都增加 为原来 的λ倍，函数 u 变为原来的 倍，则称 函数u为n次齐函数。 如 就是二次齐函数。 欧拉齐次定理： 函数 是 n 次齐函数的 充要条件为： 3．雅可比积分(广义能量积分） 一般情况下： 又因为对完整具势组有： 两边同乘以 并累加： 即：L 中不显含时间t时 , 物理意义： 依据体系均受稳定约束与否，分为： 广义能量积分 物理能量积分 物理能量积分： 当完整具势组满足以下条件时： 对于一个具有时间平移对称性的定常约束体系， 总能量守恒。 由于稳定约束，T仅是广义速度的二次齐次函数，由欧拉齐次函数 定理得： 如果是非稳定约束，T是广义速度的二次非齐次函数， 即：T=T2+T1+T0 代入： 称为广义能量积分 总结： 当受完整约束保守力学体系满足以下条件时： 这就是力学体系的能量积分 如果是非稳定约束: 称为广义能量积分 *
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