纯弯曲时梁横截面上的正应力.pptVIP

* § 5 -2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 在推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式时 ， 要综合考虑 几何 ，物理 和 静力学 三方面 。 几何方面 取图 5-1 b 所示纯弯曲梁来研究。梁的任一横截面上只有弯矩，其值等于外力偶 m。梁在加力前先在其侧面上画两条相邻的横向线 mm 和 nn ,并在两横向线间靠近顶面和底面处分别划将条纵向线 aa 和 bb （图5-1 a ） a a b b m m n n (a) (b) m m a a b b m m n n m m n n (a) (b) m m 1. 侧面上的两纵向线 aa ， bb 弯成弧线； 根据观察，梁变形后： 横向线 mm , nn 仍为直线，但相对转了一个角度且 与弯曲后的 aa ，bb垂直； 3. 靠近底面的纵线 bb 伸长，而靠近顶面的纵线 aa 缩短； a a b b 平面假设 ：梁在受力弯曲后，原来的横截面仍为平面，它绕其上的 某一轴 旋转了一个角度，且仍垂直于梁弯曲后的轴线。 用两个横截面从梁中假想地截取长为 dx 的一段（图5-1 c）,由平面假设可知，在梁弯曲时，这两个横截面将相对地旋转一个角度d? C (c) C (c) dx 横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段 无长度改变。此层称为 中性层 。 中性轴与横截面的对称轴成正交 。 中性层与横截面的交线称为 中性轴 。 （f） 中性层 中性轴 横截面 横截面的对称轴 C (c) dx 将梁的轴线取为 x 轴，横截面的对称轴取为 y 轴，中性轴取为 z 轴。 (d) O x y Z C (c) dx C (c) dx 作 与 A 平行（图5-1 c） 在横截面上取距中性轴为 y 处 的纵向线 AB。 ? 为中性层上的纵向线段 变弯后的曲率半径 为变形前 AB 的长度 A B y ? 的伸长量 B1B为 ? 为 A 点的纵向线应变。 为中性层上纵向线段的 长度 中性层的曲率为 C (c) dx A B y ? (a) 因为?是个非负的量于是 C (c) dx A B y ? 该式说明 ， ? 和 y 成正比 ,，而与z 无关 。因而， ? 与这些纵向线段沿变 z 轴的位置无关 。 (a) 该式说明 ， ? 和 y 成正比 ,，而与 z 无关 。因而， ? 与这些纵向线变段沿 z 轴的位置无关 。 C (c) dx A B y ? O x y Z y 物理方面 横截面上各点处的纵向线段均处于单轴应力状态 材料在弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等 由单轴应力状态下的 胡克定律 可得物理关系 假设： ? =E? （c） 上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离 y 成正比 ；在距中性轴为 y的同一横线上各点处的正应力均相等 。这一变化规律可用图 5-1 表示。 上式为横截面上正应力变化规律的表达式 将 代入 即得 (e) 静力学方面 考察 静力学方面 需再 以及中性轴的位置？ 中性轴 (d) y Z m O Z dA y 在横截面上法向内力元素 ?dA 构成了空间平行力系。 因此，只可能组成三个内力分量 (d) (e) (f) 通过截面法，根据梁上只有外力偶 m 这一条件可知，上式中的 N 和 My均等于零， 而Mz就是横截面上的弯矩M。 (g) (h) (I) 截面几何参数的定义，可得 将正应力 代入以上三个条件，并根据有关的 y y 这就确定了中性轴的位置。即过形心与 y 轴垂直。 中性轴必通过横截面的形心 Z C Z 中性轴 C 因为 y 是对称轴，所以 该式自动满足 y y C Z C Z 中性轴 中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。 M 拉 压 M 拉 压 （5-1） EIz称为抗弯刚度 将上式代入 得 由式 可得 *