经济数学极值的几何应用.ppt

* ESC §3.2 极值的几何应用 在资源一定的情况下, 要求效益最佳的问题 是最大值问题 实际中 而在效益一定的情况下,要 求所消耗的资源最少的问题 是最小值问题 何谓最大值?最小值? ESC §3.2 极值的几何应用 最大值与最小值的定义 或 设函数 在区间 上, 若 则称 是函数 在区间 或 分别记作 上的最大值或最小值, 且对该区间内一切 ,有 由最大值与最小值的定义知 最大值与最小值统称最值. ESC §3.2 极值的几何应用 极值 1. 函数的极值是仅就函数 有定义的区间内某 一点 的邻近,即在局部范 围内比较函数值的大小,故 2.一个函数在一个区间上可以有几个极大值和极小值. 3.极值只能在区间内部取得. 1. 而函数的最值是函数 在所考察的区间上比较函数值的大小,故 必有 2.一个函数在一个区间上只能有一个最大值和最小值. 3.最值可在区间内部取得,也可在区间端点处取得. 区别 最值 若在区间内部求函数的最值,则只能在函数的极值中寻找.特别是在解极值应用问题时,常常是下述情况: 联系 §3.2 极值的几何应用 若函数 在区间 内仅有一个极大值而没有极小值,则该极大值就是函数在该区间内的最大值. 若函数 在区间 内仅有一个极小值而没有极大值,则该极小值就是函数在该区间内的最小值. 极大值 最大值 极小值 最小值 ESC ESC (1)分析问题, 建立目标函数: 解最大值与最小值实际应用问题的程序 §3.2 极值的几何应用 (3)作出结论: 按实际问题 的要求给出 结论. 在充分理解题意的基础上,设出自变量与因变量.一般地,是把 问题的目标,即要求的量作为因变量,把它所依赖的量作为自变 量,建立二者的函数关系,即目标函数,并确定该函数的定义域; (2)解极值问题: 应用极值知识, 求目标函数的 最大值或最小值 ; §3.2 极值的几何应用 ESC 案 例 一块边长为24cm的正方形纸板,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做一个无盖的方盒.问截掉的小正方形边长为多少时时,能得到一个容积最大的方盒? 最大容积是多少? 该案例是在资源一定的情况下,即纸板的大小给定,要求效益最佳的问题,即要使方盒的容积最大. 　　　　　　　　　 解案例 　　　　　 (1) 分析问题,建立目标函数 　 按题目的要求,在纸板大小给定的条件下,要使方盒的容积最大是我们的目标.而方盒的容积依赖于截掉的小正方形的边长.这样,目标函数就是方盒的容积与截掉的小正方形边长之间的函数关系. 　　　　　　　　　 §3.2 极值的几何应用 ESC 解案例 　　　　　 (1) 分析问题,建立目标函数 　 　　　　　　 设截掉的小正方形的边长为 ,则方盒底的边长为 　　　　 (2) 解极大值问题 确定的取值,以使方盒的容积取最大值. 　 　　　　　　 令 , 得驻点 和 　　　　　　 (舍). 由此知,截掉的小正方形的边长最长为12cm.若以 表示方盒的容积,则 与 的函数关系为 　 　　　　　　 §3.2 极值的几何应用 ESC 解案例 (续) 　　　　　 (2) 解极大值问题　　　　　　 因为当 时, 所以 是极大值点. 　　　　　 由于在区间内部只有一个极值点且是极大值点,这也就是取最大值的点. (3)结论 当截掉的小正方形边长 cm时,方盒容积 最大,最大容积为　　　　　 (cm3).　　　　 当 时, ESC 解 练习 §3.2 极值的几何应用 这是容积一定,要求用料最省,即在效益一定的情况下,要求所消耗的资源最少的问题. (1) 分析问题,建立目标函数 贮油桶的容积一定,要求用料最省,这实际上就是以圆柱形贮油桶