第二章 静电场 电动力学课件.ppt

第二章 静电场 Electrostatic field §2.4 电多极矩 Electric Multipole Moment 电四极子：由两个大小相等，方向相反的电偶极子构成. 照此推理下去，可将电荷系统中任意点处的电荷近似看成是中心在原点处的电荷、电偶极子、电四极子、电八极子、……之和。最后一个多极子的极数越高，它的中心越逼近原点，计算误差就越小。 q：中心在o p：中心在 q：中心在o p：中心在o ：中心在 q：中心在o p：中心在o ：中心在o 电八极子：中心在 关于电四极矩张量 重新定义电四极矩张量： 单位张量 或 与前面定义的电四极矩张量相比，对角线上元素不同，但非对角线上元素是相同的。 电四极矩的性质 电四极矩的9个分量中只有5个是独立的 球对称分布的电四极子 对于非对角项 关于 和 的奇函数，故： 球对称电荷分布系统也没有电偶极矩，没有更高阶极矩。电四极矩反映了电荷分布对球对称的偏离。（应用：核物理中，可通过测量远场电四极矩项推算原子核形变。） 例题：带电荷为Q的椭圆，半长轴为b，半短轴为a，求它的电四极矩和远处的电势。 解：椭球方程为： 椭球电荷密度为： 电四极矩 由对称性 令： 同理可得 同理得到 球内的场是一个与球外场平行的恒定场。球内电场比原来外场E0为弱，这是极化电荷造成的。 在球内总电场作用下，介质球的极化强度的 介质球的总电偶极矩为 一、唯一性定理： 设区域V内给定自由电荷分布 在V的边界S上给定： （i）电势 或 （ii）电势的法向导数 则V内的电场唯一地被确定。 §2.3 镜象法 【证明】（反证法）参见课本 静电场中的导体：表面是等势体. 考虑两个等量相反点电荷. 虚线为等势线（双曲线） 如果一个像A形状的导体面放置在A，调整适当的电势，空间的电势没有改变——一种解静电场的新方法. 空间分成两部分：导体内、外. 导体内的电荷分布不影响导体外的电势. 导体的作用可以用一个假想的电荷（像电荷）代替. 二、镜像法 注意几点： 像电荷必须放在研究的场域外； 放置像电荷后，就认为原来真实的导体或介质界面不存在，把整个空间看成是无界的均匀空间。且其介电常数是所研究场域的介电常数。 像电荷是虚构的，它只有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或极化电荷相等。 镜象法适应的范围：①场区域的电荷是点电荷、无限长带电直线；②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面） 1. 界面为平面的情况 【例1】接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间中的势分布。 【解】右半空间的电场是q及S面上的感应电荷面密度 共同产生的。 假设一放置在x=-a像电荷-q，右半空间所有的边界条件都满足. 导体板平面上感应电荷的分布 像电荷与感应电荷符号、大小相同. 导体平面 导体平面 可以进一步求Q受到的作用力（课后练习） 2. 界面为球面的情况 【例2】有一半径为Ro的接地导体球，距球心为a(aRo)处有一点电荷Q，求空间的电势分布。 为了使球面的电势为零，必须： 因为p为球面上任意点，故： 只要选q的位置使△opq∽ △opq，即 【解】等势面为球面，异号不等量电荷的等势面可能是球面. 像电荷应在对称轴上. 因三角形相似，故 可得 球面上的感应电荷面密度： 总感应电荷为： 感应电荷的大小等于像电荷Q的大小。 也可以这样证明： 根据Gauss定理，即 式中的E是像电荷q和真实电荷q共同产生的，即 故 ： q感=q 然而|q|q，由电荷q发出的电场线只有一部分收敛于球面上，剩下的一部分发散至无穷远处。 根据上述例子，作如下几点讨论： 导体球既不接地又不带电 这种情况与[例2]的差别仅在于边界条件，这里 如在球内再添置一个像电荷 ，则满足电中性条件. 为了不破坏导体是等位体的条件，q必须放在球心处 导体球不带电其电势的U0 这种情况与[例2]的差别仍然在边界条件，这里 U0 是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心处放置了电量为 的点电荷，显然，其解为： 由 若点电荷q在导体球壳内距球心a处 与[例2]的情况相比，源电荷的位置由球外搬进到球内。接地球壳外无场强，场的区域在球内。球内的电势等于源电荷Q和球面上的感应电荷（球壳内表面）—像电荷Q（在 注意：像电荷的电量q大于源电荷的电量q，球内的电势与导体球是否接地、是否带电无关。 球外 处）产生的电势： 若导体球带电Q但不接地： 则球心有电荷（Q- q) ，则P点的电势为 由 计算导体对点电荷q的作用力 源电荷q所受到的作用力来自球面上的电荷，即 当 近似为两点电荷作用，作用力为排斥力。 当q