第六章群论在量子力学中的应用§61矩阵元的计算.pptVIP

* 第五章 群论在量子力学中的应用§5.1 矩阵元的计算 矩阵元定理1（即维格纳一埃伽定理）：属于两个不同的不可约不等价表示的任意两个基函数，或属于同一不可约表示的不同列的两个基函数相互正交。属于同一不可约么正表示同一行的基函数间的内积与行数无关。 属于 的基为 属于 的基为 上面定理意为： ——（*） 其中 ，与 和 无关。 = Cj?????jj? 显然， Cj与?无关。如归一， Cj＝1。 对于哈密顿算符的矩阵元，据PR的么正和H的对易性，有： 两边对R求和: 左边 右边 其中 ，它是与?无关的常数。 ∴ ——（**） 矩阵元定理2：对于不等价的不可约表示或同一个不可约表示的不同列的函数，哈密顿矩阵元为零，而对于同一个表示的相同列的矩阵元都有相同的值。 （*）和（**）两式被称为矩阵元定理。 ——（**） ——（*） §5.2 能量本征值和本征函数的近似计算 设在S、E ——（Δ） 中待求的函数 可按已知的完整本征函数系列 展开： ——（□） 代入（△），并将方程的两边与 构成内积得： ——（△△） 这是对于未知数 的线性齐次代数方程组。 其解存在的条件是： ——（久期方程） 一般说，上面的求和是无穷级数，为此，只能取其N项作截断近似，而久期方程变为N×N行列式，其根是本征值E，把它代回到（△△）式中去，便得复数 。 一般，N越大，结果越精确，但工作量也随之正比于N!。 应用矩阵元定理，以上工作可大大简化，关键在于重新编排（□）式中的已知函数系，使得它们是H的对称群G的不可约表示的基函数。 设：H的对称群为G， 前面已证明：哈密顿H的对称群G的基函数即为H的本征函数。 因此， 可按各套表示的基函数展开： （ 求和， j为各表示求和） 这样，久期方程为： 据上节中的矩阵元定理：除了 同时 以外，上式中其余的矩阵元均为零。 ∴久期方程为： 其中 是矩阵元，其值： 上式化为： 于是完整的本征值谱可由 即 求得，此式要比原久期方程的求解要简单得多！ 另外，由矩阵元定理可知：矩阵元的值与?无关。 这就使得对每个不可约表示 有 久期方程为： ， …任意 于是对于每个不可约表示 ，只需解一个 的方程就够了，并因此求出的能量本征值是 重简并的。 以上讨论中，已假定了对于不同的j，其表示只有一个。实际中，还可能有这样的情况：即有?1个D(1)，?2个D(2)，… ?j个D(j) … ??个D(?) ，这时按上面同样讨论可得久期方程为准对角的行列式方程，其对角元素有些还是矩阵，尽管如此，它的维数要大大小于原久期方程的维数，从而也大大简化了计算，详细计算这里不作讨论。 ?1 ?2 m1维 m2维 §5.3 微扰引起的对称性的降低 设在体系原哈密顿H0上加上一微扰H 则系统哈密顿为： 设群G是H0的对称群 群G是H的对称群 虽说G的每个