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微分学 一、极限 （一）函数的几种特性 一、函数与极限 （一）函数的概念与特性 1 函数的概念 设x和y是两个变量， D 是一个给定的数集，如果对于每个数x D ，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是x的函数，记作 y = f （x），数集 D 叫做这个函数的定义域， W ={yy = f ( x ) , x D ｝为函数的值域， C={(x ，y) y = f ( x ) , x D ｝称为函数 y = f （x）的图形. 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数。 把直接函数 y = f （x）中的因变量 y 看作自变量，而把自变量 x 看作因变量，按照函数概念，就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y= f （x）的反函数，记作x=(y). 如果把直接函数y=f(x)和反函数y=(x)的图形画在同一坐标面上，则这两个图形关于直线y=x是对称的。 若函数y=f(u)的定义域为D1，函数u= (x)在D2上有定义，而W2={uu= (x),xD2}D1,则y=f[ (x)]就称为函数y=f(u)和u= (x)的复合函数。 2 . 初等函数 幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数 3 函数的几个特性 ( 1 ）函数的有界性：设函数 f （x）的定义域为 D ，数集 X D ，若存在正数 M ，使≤ M ，xX,则称f（ x ）在X上是有界的，如果对于任何正数M，总存在x1X,使＞M，则称函数f(x)在X上无界。 （2）函数的单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间ID,如果对于区间I上任意两点 xl 和 x2 , ，当 xl ＜x2时，恒有 f (xl ) f （x2 ) ，则称函数 f ( x ）在区间 I 上是单调增加的，如果对于区间 I 上任意两点 x1和x2，当x1＜x2时，恒有 f （xl ) f ( x2) ，则称函数 f （x）在区间上是单调减少的。 ( 3 ）函数的奇偶性：设函数f（x）的定义域 D 关于原点对称，如果对于任一x D ，恒有 f （- x ) = f (x），则称 f ( x ) 为偶函数。如果对于任一x D ，恒有 f （- x ) =- f (x），则称 f ( x ) 为奇函数。 （4）函数的周期性：设函数 f （x）的定义域为 D ，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一x D ，有 x 士 l D 且恒有 f （x士l）= f ( x ) ，则称 f ( x ）是以 l 为周期的周期函数，这里通常取最小正周期. 下列函数 f （x）和g( x ）是否相同，为什么？ 【 解 】 （ l ）不相同 故 f （x）与g(x) 的定义域不同。 ( 2 ）不相同， 故它们的对应规律不同。 ( 3 ）不相同， 故 f （对与 g （x）的定义域不同。 ( 4 ）相同， 故它们具有相同的定义域与对应关系. 求函数，y=的定义域. （二）函数的极限 1 . 函数极限的概念 无穷小与无穷大 函数的极限按自变量的变化趋向、。可分成以下两种。 当时， f ( x ）无限趋近于常数 A , 称作 f ( x ）当时的极限为 A; 记成或； 当时， f ( x ）无限趋近于常数 A , 称作 f ( x ）当时的极限为 A; 记成或； 它们的严格数学定义需用“”或“”来描述，可参阅教材。 特别地，若当（或）时的极限 A = 0 ，则称 f ( x ）为当（或）时的无穷小。 若当 （或）时， f ( x ）的绝对值| f ( x ）|无限增大，则称 f ( x ）为当（或）时的无穷大，记成（或）。 注意：按函数极限的定义， f ( x ）为无穷大是极限不存在的一种特殊情形，但习惯上也称“函数的极限为无穷大”。 2 ．左、右极限 在函数极限的概念中，自变量 的变化趋向， x 可以从 x0的左、右两侧趋向于 x0但有时只需考虑 x 仅从x0的左侧趋向于x0（记成），或x仅从x0的右侧趋向于x0（记成） 若当时， f （ x ）无限趋近于常数 A ，则称 f （ x ）当时的左极限为 A ，记成 或 。 类似地，有 f （ x ）当时的右极限，记成或，以及 与。 函数 f （ x ）当（或）时的极限存在的充分必要条件，是函数的左、右极限均存在且相等，即 3 ．极限运算法则 （ l ） （极限的四则运算法则） 注意：上述记号“ lim ”下的自变量变化过程可以是、、、、、，但等号两端出现的必需是同一种。 （ 3 ） （复合函数的极限运算法则） 设函数 y = f[g （ x ）]是由函数 y = f （ u）与函数u =