高中数学新人教A版选修 3.3.1单调性 课件.pptVIP

复习引入： 问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性 1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时， 　(1)若f(x1)f (x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即 　. (2)若f(x1)f (x2)，那么f(x)在这个区间 上是减函数 此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即 (2)作差f(x1)－f(x2)，并变形. 2．由定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)设x1、x2是给定区间的任意两个 　值，且x1 x2. (3)判断差的符号(与０比较)，从而得函数的单调性. 例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性. 解：取x1x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1x22时， x1+x2－40， f(x1)f(x2)， 那么 y=f(x)单调递减。 当2x1x2时， x1+x2－40， f(x1)f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。 函数y=x2－4x＋3的图象： 2 y x 0 单增区间：（２，+∞）. 单减区间：(－∞，２). 0 y x 1 2 -1 -2 单增区间：(-∞，-1)和 （1，+∞）. 单减区间：(-1，0）和 （0，1）. 例2：讨论函数　　　　　的单调性。 那么如何求出下列函数的单调性呢? 发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系： 这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关 2 y x 0 . . . . . . . 再观察函数y=x2－4x＋3的图象： 总结:该函数在区间 （－∞，2）上单减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生改变. 结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f′(x)0, 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数. 如果f′(x)0, 则f(x)为增函数; 则f(x)为减函数. 例3：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间. 解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x 令6x2-12x0,解得x0或x2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x0,解得0x2, 则f(x)的单减区间(0,2). 注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变. 例4 求函数f(x)=sinx,x∈[0,2π] 的单调区间. 例5 判定函数y=ex-x+1的单调区间. 解: f’(x) =ex-1 当ex-10时,解得 x0. 则函数的单增区间为(0,+∞). 当ex-10时,解得x0. 即函数的单减区间为(-∞,0). 总结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)0,得函数单减区间. 练习:P74 知识应用 1．应用导数求函数的单调区间 (1)．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数(填“增”或“减”)。 基础训练： 增 (2)．函数 y = x2－3x 在[2,+∞)上为______函数，在(-∞,1]上为___函数，在[1,2]上为　 　　　函数 (填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函数”)。 增 减 既不是增函数 又不是减函数 变1：求函数 　的单调区间。 理解训练： 求函数 的单调区间。 变2：求函数 的单调区间。 巩固训练： 变3：求函数 的单调区间。 已知导函数的下列信息： 试画出函数 图象的大致形状。 A B x y o 2 3 2．应用导数信息确定函数大致图象 设 是函数 的导函数， 的图象如 右图所示,则 的图象最有可能的是( ) x y o 1 2 x