常微分方程1.pptVIP

 第一部分 微分方程 祝文壮 Email：zhuwz76@nankai.edu.cn 微分方程学科概述 物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多问题都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些问题认识和分析就归结为对相应的常微分方程的研究。因此，常微分方程是研究自然科学和社会科学中的各种问题的极为重要的工具。其理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。 第1章 基本概念 §1.1 微分方程概述 方程是指含有未知量的等式，它表达了未知量所必须满足的某种条件。微分方程是联系着自变量,未知函数及其导数的关系式. 分类: 常微分方程, 偏常微分方程. （I）如果在一个微分方程中，自变量的个数只有 一个，则这样的微分方程称为常微分方程. 例如（1）（2）（3）（4） （II）如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程. 例如（5）（6） 注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方程或方程. 微分方程模型 在一些实际问题中，为了定量地研究某变量的变化规律,往往涉及变量的变化率,从而得到微分方程，下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程. 例2 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型. §1.2 微分方程的基本概念 1.2.1常微分方程的一般表达式 例 证明: 注 又由于 注：类似可定义方程的隐式通解 如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解. 以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解. * * 将某物体放置于空气中, 在时刻 时, 测得它的温度为 10分钟后测量得温度为 试决定此物 体的温度 和时间 的关系.这里假设空气温度保持在 例2 物理冷却过程的数学模型 Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比. 设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义, 则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到 其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型. 注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得 与 之间的关系式, 以后再介绍. 解: 解: 根据题设,每个病人每天可使 由于病人总人数为 所以每天共有 于是病人增加率为 定义：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数. 是一阶微分方程； 是二阶微分方程； 是四阶微分方程. 常微分方程的阶 如: 是线性微分方程. 线性和非线性 如 1.如果方程 是非线性微分方程. 如 n阶线性微分方程的一般形式 不是线性方程的方程称为非线性方程 1.2.2 常微分方程的解 定义 注：这种解称为方程的显式解 例 证明: 显式解与隐式解 相应定义4所定义的解为方程的一个显式解. 隐式解. 注:显式解与隐式解统称为微分方程的解. 例如 有显式解: 和隐式解: 方程的通解 定义如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解. ■例如: ■ n阶微分方程通解的一般形式为 例3 证明: 由于 故