低频周期驱动八极形变的经典混沌现象.pptVIP

低频周期驱动八极形变的经典混沌现象 郑仁蓉1 金华1 李君清2 1.上海师范大学物理系 200234 2.中科院近代物理所 兰州 730000 哈密顿系统经典混沌的研究方法: 目前主要是基于非线性方程组的线性化，以及线性化以后的线性方程组解的稳定性判断。 经典力学的哈密顿正则方程构成一组2n维的非线性方程组: 一、非线性方程组的线性化： 二、线性方程组的解： 设只有两个变量的线性方程组为： 三、线性方程组解的稳定性： 线性方程组解的稳定性与体系自由度和含有纯虚数根的关系 以上稳定性判据（1），要求所有本征值实部均为负，方可判断解的稳定。体系自由度越大，本征值越多，本征值实部均为负的难度越大。而判据（2），只要求一个本征值的实部为正，即体系运动的不稳定性不受自由度增大的影响。因此，体系自由度越大，越难实现运动的稳定，即体系的规则运动越少，越容易实现体系的混沌运动。 四、低频周期驱动八极形变的经典混沌现象 体系的哈密沌量为： 将哈密顿含时部分自治化： 令 势能中周期驱动对体系运动状态的影响 1。周期驱动使哈密吨体系的非线性方程组 由4维扩大到六维，增大了混沌运动的可能性。 2。第5，6个本征态是纯虚数而不是实部为负的值，此说明含时增加了体系混沌运动的可能性和运动的复杂性。 * * 一、非线性方程组的线性化 二、线性方程组的解 三、线性方程组解的稳定性 四、低频周期驱动八极形变的 经典混沌现象 设 为此非线性方程组的一个解。 我们称之为参考态。 欲看参考态的稳定性,须看参考态附近的微小偏离随时间的变化。 于是有： 此式的矩阵形式为： 此为一线性方程组。 它的解的形式为： 和 将其代入（2.1）得 此方程的本征值为： 其中： 为方程（2.2）系数阵之迹。 为方程（2.2）系数阵行列式之值。 线性方程组（2.1）的两组线性无关的解为： 对应本征值 ： 对应本征矢为： ， 对应本征值 ： ， 对应本征矢为： 线性方程组(2.1)解的一般形式为: 其中 由初始条件决定。 （1）当 的实部均为负值时，由解（2.3）中的 可知: 即解 是渐近稳定的。 于是，非线性方程组 （1.1）的参考态 也是渐近稳定的。 （2）当 中，至少有一个实部是正的，则 （i=1，或者 2），则解 是不稳定的。 于是，非线性方程组 （1.1）的参考态 也是不稳定的。 （3）当 中，至少有一个实部为零（纯虚数）， 另一个实部是负的。则线性化方程不足以 判断其解的稳定性，需要考虑更高阶项的 影响。 以上两维问题，可以推广到高维。 由稳定性判据（3）可知，纯虚数本征值与 实部为负的本征值相比，保证其体系运动稳 定的难度更大。 因为实部为负的本征值起着使体系运动 稳定，或体系有规则运动的保证作用。 而纯虚数本征值则难以确定体系运动的 规则性。 其中势能为： 则 而 哈密顿正则方程和对含时部分的自治化给出 以下非线性方程组： 线性化以后的本征方程的系数矩阵为： 用MATLAB求得本征值为如下高次方程的根： 其中： 为小矩阵 S的迹。 为小矩阵S 行列式的值。 求解后得： 其中 与 势能曲面的曲率同号。 本征值 与不含时哈密顿量 完全一样。 当 本征值 至少有一个大于零 使体系肯定处于混沌状态。这也解释了为 什么扁凹形势比长凸形势更容易引起混沌 运动的原因。