竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略.pdfVIP

· 课外园地 · 数学通讯一 2012年第 11期 (下半月) 61 竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略 林国夫 (浙江省上虞市春晖中学，312353) 递推公式背景下的数列型不等式一直是高中数 = (a+l—a)+2，故数列 {a+1一n}是首项为 a1 学竞赛和高考考查的重点和热点．由于此类问题能 一a0=2，公差为2的等差数列，因此 a+1一a= 比较和谐地融函数、三角和不等式等高中数学核心 2n+2．故 口= (口^一口一1)+ o= (2k)+0= 知识模块于一体，自然渗透常见的重要数学思想和 =1 k=1 方法，对学生严谨的推理论证能力和 良好的数学思 (规+1)．从而去口n：咒十1=一十l(≥1)， 维品质的培养起着积极的作用，因此其一直被命题 故 者所青睐．本文主要以近年来的高中数学联赛试题 + 1 + -．．+ 上 = 口2 (卜号)+(丢一号j)+．．· 为例，就竞赛中的递推型数列不等式问题的求解策 1 以， a 2009 略作一探究和总结，以突破对该类问题的教与学的 +(201 瓶颈，供读者参考． 09一 )=1—-2-0~101． 点评 通过求数列的通项公式并借助精确求和 1 以数列的通项公式为切入 口寻求 问题的求解 方法 (错位相减，裂项相消，倒序相加，分组求和等) 策略 来求证数列不等式在思维上并不存在困难．利用该 数列的通项公式是刻画数列最全面的工具．借 策略求解问题关键之处在于求解数列的通项公式． 助数列的通项公式我们可以分析数列的基本性质 在竞赛中求解数列的通项公式的常见方法有：叠代 (单调性，有界性等等)，为解决数列型不等式问题提 法(累加或累乘)，构造法 (借助恒等变换转化为特殊 供科学的决策依据．因此，求解通项公式成为我们解 数列，如等差数列，等比数列，常数数列等)，换元法 决递推型数列不等式问题首选的突破 口． (包括代数换元和三角换元)，函数不动点法(借助函 1．1 突破数列的通项公式实现 “精确化”求和 数不动点构造特殊数列)和特征根法(求解关于线性 例 1 (2009年全 国高中数学联赛湖北省预 递推关系下的数列通项公式)等等． 赛)设数列{a}(72≥0)满足：a1=2，口++a一 1 1．2 合理调控数列的通项公式的放缩实现 “近似 一m+ =寺(a2+n2)，其中 ，∈N，≥ ． 化”求和 (1)证明：对一切 ∈N，有 a+2：2a+1一a 例 2 (2011年全 国高中数学联赛天津市预 +2；