一类N-Laplacian方程解的存在性.docVIP

  一类 N-Laplacian 方程解的存在性 李晶，王非之** （烟台大学数学与信息科学学院，烟台 264005） 5 10 15 摘要：本文利用 Truinger-Moser 不等式, 山路几何, 在非强制条件的情况下, 证明带有临 界增长指数的非线性椭圆方程解的存在性. 关键词：山路几何; Truinger-Moser 不等式; 泛函; 临界增长. 中图分类号：O175.1 The Existence of Solution for a Class of N-Laplacian Equation LI Jing, WANG Feizhi (Mathmatics and Information Science School, Yantai University, ShanDong YanTai 264005) Abstract: By using Truinger - Moser inequality, mountain-pass geometry, in the paper we show the existence of nonlinear elliptic equations with critical growth index. We omit the force conditions on nonlinear elliptic equations. Key words: 0 引言 Mountain-pass geometry; Truinger - Moser inequality; Functional; The critical growth .  20 本文将考虑下列非线性椭圆方程  ? ?  (1) 其中函数 f : R?? R 连续且有临界增长指数, 即当 | u |??? 时, f 有类似临界增长指数 N exp(? | u | N??1 ) . W 1, N ( R N ) 是 LN ( R N ) 上的 Sobolev空间, 而 Sobolev空间中函数的弱导数也 属于 LN ( R N ) , 其中范数‖u‖WN 1,N?? ?R N N 25 do ó[1]考虑了下列问题解的存在性: ??div(|??u |N?? 2??u)?? a( x) | u |N??2 u?? f ( x, u), x?? R N , ? ? 其中 a(x) 满足强制性条件: 当| x |??? 时, a( x)???? . Lam[2]和 Lu[2]研究了下列方程非平凡解的存在性:  30  ?div(a( x,??u))?? V ( x) | u | N??2 u?? 其中V ( x) 是强制的或[V ( x)]?1?? L1 (R N ) . f ( x, u) | x |?  ??? h( x) , 在[1]和[2]中强制条件起到很重要的作用, 本文考虑的是在没有强制条件的情形下, 利 用[3]的方法证明相应的结论. 为了解决这类问题, 我们将引入 Trudinger-Moser 不等式, 通过 通信联系人：王非之（1973），男，副教授，主要研究方向：偏微分方程. wangfz@ytu.edu.cn 作者简介：李晶（1988），女，硕士研究生，主要研究方向：偏微分方程 -1- 建立满足问题(1)非平凡解的存在条件来完成结论的证明. 下面给出非线性项 f (u) 的增长条件:   35 ( f1 ) f : R?? R 连续,??u?? R ,??? 0 , b1, b2?? 0 使得  | f (u) |? b1 | u |N??1??b2e? 0  N |u| N??1  (? (?  N??2 k??0 kN ? 0k | u | N??1 k !  ; u 0 ( f3 )??x?? R N ,??R0 , M 0?? 0 , 当 u?? R0 , 使得 0?? F (u)?? M 0 f (u) ; N N  u???? ?? 0 |u| N??1 ???0?? 0 一致;  40  ( f5 ) lim sup u??0? NF (u) | u |N  ???1 ( N ) 在 x?? R N 上一致成立. 在 Sobolev 空间中, 存在一个常数 a0?? 0 使得  ?1 ( N )?? u‖WN 1, N ( R N ) inf 0?u?W 1,N ( R N )  ? a0?? 0;  N ( f 6 )???? ( ) Cq , 其中 Cq 0 为 Sobolev 嵌入的最优常数; q ( f 7 )??u?? 0,????? 0 且 qN , 使得 f