量子力学中的近似方法(二).docVIP

第八章 量子力学中的近似方法 第八章 目 录 §8.2 变分法 2 (1) 定理 3 (2) Ritz变分法 3 §8.3 量子跃迁 5 (1) 含时间的间的微扰论 6 (2) 跃迁几率 8 (3) 微扰引起的跃迁 11 (4) 磁共振 16 §8.4 散射 22 (1) 一般描述 22 (2) 玻恩近似；Rutherford散射 25 (3) 有心势中的分波法和相移 28 (4) 全同粒子的散射 33 §8.2 变分法 定态微扰论有效，是必须找到，有解析解，且逼近。但这并不是容易做到的。另一种求法是用变分法求定态解。 (1) 定理 体系的哈密顿量在某一试探波函数的平均值必大于等于体系基态能量 证： 设： 是的本征态，本征值为 显然，形成－正交完备组，于是 当时，等号成立。 因此，当我们用一试探波函数去找能量平均值时，一般总比基态能量大，再通过求变分，以得尽可能小的平均值及相应波函数。当然，这平均值仍大于等于基态能量，即由变分给出的平均值是基态能量的上限。 （2）Ritz变分法 现可利用变分原理到具体问题上，以求体系的近似本征能量和本征函数。 基本思想：根据物理上的考虑给出含一组参量的试探波函，求出能量平均值，以表示 对，求极值，从而确定 显然，（基态能量） 当然，如果要求第条能级的近似本征值和本征函数，则要求知道第一条（基态）…第条能级的波函数，（设已归一化）。取试探波函数，然后处理一下，给出新的波函数 再求的极值，定出，从而给出第条能级的近似本征值（即上限）及近似波函数 是第条能级的上限。 例：氦原子基态能量(即外有两个电子) 我们知道，氦原子的哈密顿量为（忽略 ） 从物理上考虑，当二个电子在原子中运动，它们互相屏蔽，使每个电子感受到原子核的作用不是两个单位的正电荷，而是比它小。究竟是多少？很自然可把它当作待定参量，利用Ritz变分法来求基态能量的近似值。 用类氢离子的基态波函数 若类氢离子的波函数，则满足 取试探波函数为 显然， 于是 （这里是已归一化的） §8.3 量子跃迁 前二节，我们解决的是与无关，但不能直接求解，而利用有解析解，并且较小，通过微扰法求解的近似结果。 有时也能用试探波函数，通过变分来获得。 现在要处理的问题是：体系原处于的本征态（或叠加），而有一与有关的微扰附加到该体系。 显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使在一段时间中不变），在的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。而且无法获得解析结果。有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于的本征态的几率又不随时间变化。当然，这与作用前的几率已有所不同。也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。这就需要利用含时间的微扰论。 总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。 (1) 含时间的间的微扰论 与有关，体系原处于，随加一微动 因不显含，而有 则 的通解为 的定态 而 是常数 不随变 当时，即，处于时 即微扰不存在时，体系处于定态上。 当微扰存在时，特别是与有关时，则体系处于的各本征态（或定态） 的几率将可能随时间发生变化。 设： 当然，仍可按的定态展开，但由于不是的定态，所以展开系数是与有关。 代人S.eq.，并与标积，得 得方程 （为的本征态） 是时刻，以描述的体系，处于的本征态中的几率振幅。实际上，上式是S.eq.在表象中的矩阵表示，这方程的解依赖初态和。 假设很小，可看作一微扰，则可通过逐级近似求解。 令 则有 于是有解 与无关 由初条件时，体系处于，即得 即 于是有 又由 由此类推 而 (2) 跃迁几率 若很小，即跃迁几率很少，我们只要取一级近似即可，则 这表明，体系在时刻