北京四中高中数学 正弦函数、余弦函数的图象提高知识讲解 新人教A版必修1.docVIP

正弦函数、余弦函数的图象 【学习目标】 1.了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法； 2.掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象． 【要点梳理】 要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法 1．描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法． 2．几何法 利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和的图象． 3．五点法 先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象． 在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 要点诠释： （1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点． （2）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到和的图象． （3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到． 要点二：正弦曲线、余弦曲线 （1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． （2）图象 要点诠释： （1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质． （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如，方程根的个数． 要点三：函数图象的变换 图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到． 【典型例题】 类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象 例1．作出下列函数在[－2π，2π]上的图象． （1）；（2）． 【思路点拨】（1）先利用五点法作出函数在[0，2π]上的图象，然后作出它关于y轴对称的图象即可．（2）由于，因此只需作出函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象即可． 【解析】 （1）描点、作图 x 0 1 1 其图象如下图所示． （2）函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示． 【总结升华】 作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了． 举一反三： 【变式1】用五点法作出下列函数的图象． （1），； （2），． 【思路点拨】（1）取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）．（2）取上五个关键的点． 【解析】 （1）找出五点，列表如下： x 0 0 1 0 －1 0 y=2－u 2 1 2 3 2 描点作图（如下图）． （2）找出五点，列表如下： 0 x y=cos u 1 0 －1 0 1 描点作图（如下图）． 【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的． 类型二：利用图象变换作出函数的图象 例2．（1）作函数的图象； （2）作函数的图象． 【思路点拨】（1）要善于利用函数的图象来作及的图象． （2）函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，因此作出函数的图象后，要把x=kπ（k∈Z）对应的点去掉． 【解析】 （1）将化为，其图象如下图． （2）当，即x≠kπ（k∈Z）时，有，即（x≠kπ，k∈Z）．其图象如下图． 【总结升华】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称． 举一反三： 【变式1】利用图象变换作出下列函数的简图：． 【解析】 先作出的图象，然后利用对称作出的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图． 类型三：利用函数图象解简单的三角不等式 例3．根据正弦曲线求满足的x的范围． 【思路点拨】先在一个周期内求出x的范围，然后加上周期的整数倍． 【解析】在同一坐标系内作出函数y=sin x与的图象，如下图． 观察在一个周期的闭区间内的情形，满足的． 因为正弦函数的周期是2π，所以满足的x的范围是． 【总结升华】（1）一般地，对于y=sin x，观察其一个周期常常是[0，2π]或；对于y=cos x，观察其一个周期常常是[0，2π]或[－π，π]． （2）数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的问题形象化、直观化，平时解题时要注意运用． （3）正、余弦函数的图象有很多重要的应用，其中利用正弦函数的图象