【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 3.3.2 函数的极值与导数目标导学 新人教A版选修1-1.docVIP

3.3.2　函数的极值与导数 问题导学 一、求函数的极值 活动与探究1 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝＋3ln x． 迁移与应用 1．如图为y＝f(x)的导函数图象，则下列判断正确的是(　　) f(x)在(－3,1)上为增函数； x＝－1是f(x)的极小值点； f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上是增函数； x＝2是f(x)的极小值点． A． B． C． D． 2．求函数f(x)＝sin x＋x，x(0,2π)的极值． 求函数极值的方法： (1)求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的全部实根； (3)列表，检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左、右的值的符号； (4)判断单调性，确定极值． 二、求含参数的函数的极值 活动与探究2 (1)设f(x)＝x3－3ax(a≠0)，求函数f(x)的单调区间与极值点． (2)求函数f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a＞0)． 迁移与应用 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点． (1)试确定常数a和b的值； (2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由． (1)对于可导函数而言，它的单调递减和单调递增区间的分界点应是其导数符号正负交替的分界点．解题时，按照求函数极值的步骤来解，要注意表格的作用，利用表格，可使极值点两边的增减性一目了然，便于求极值． (2)如果含有参数，必要时要对参数的取值进行讨论．通常有三类：一类是对f′(x)＝0是否有解进行讨论，二是对f′(x)＝0的根是否在所给区间或定义域内进行讨论，三是对f′(x)＝0在所给区间或定义域内的根大小进行讨论． 三、由函数的极值确定参数的值 活动与探究3 (1)已知函数f(x)＝x－aln x＋在x＝1处取得极值，则a与b满足的关系式为__________． (2)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值，求a，b的值，并确定f(1)和f(－1)是函数的极大值还是极小值． 迁移与应用 1．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3． (1)求a，b的值； (2)求函数y的极小值． 2．已知函数f(x)＝－x3＋bx2＋cx＋bc，如果函数f(x)在x＝1处有极值－，求b，c的值． 已知一个函数，可以用单调性研究它的极值．反过来，已知函数的极值，可以确定函数解析式中的参数，解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取到极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件． 课前·预习导学 【预习导引】 1．(1)f′(x)＜0　f′(x)＞0　(2)f′(x)＞0　f′(x)＜0　极大值点　极小值点　极大值　极小值 预习交流1　提示：(1)对于可导函数来说，y＝f(x)在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处，f′(0)＝0，但x＝0不是函数的极值点． (2)可导函数y＝f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0的左侧与右侧，f′(x)的符号不同． (3)若函数y＝f(x)在(a，b)上有极值，则y＝f(x)在(a，b)上不是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值．例如，函数y＝x2在[－2,2]上有极值，其单调性是先减后增；函数y＝x3在R上是单调递增函数，没有极值． (4)函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有．函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数的一个极小值也不一定比极大值小． 预习交流2　提示：1　5 课堂·合作探究 【问题导学】 活动与探究1　思路分析：先求f′(x)＝0时x的值，然后列表，根据极值的定义判断在这些点处的极值情况． 解：(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9． 解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3． 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 10 单调递减 －22 单调递增 因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22． (2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＋＝， 令f′(x)＝0，得x＝1． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值3