概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案.docVIP

第三章 多维随机变量及其分布 习题 3.1 1． 100 件商品中有 50 件一等品、30 件二等品、20 件三等品．从中任取 5 件，以 X、Y 分别表示取出的 5 件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X, Y ) 的联合分布列． （1）不放回抽取；（2）有放回抽取． 解：（1）(X, Y )服从多维超几何分布，X, Y 的全部可能取值分别为 0, 1, 2, 3, 4, 5， ??50???30?? 20 ? ???i ???? j ?????5 ??i ??j ?? 且 P{X ??i, Y ??j} ? ? ?? ?? ?100? ??, i ??0, 1, 2, 3, 4, 5; j ??0, L, 5 ??i ， ?? ?? ???5 ? 故 (X, Y ) 的联合分布列为 X （2）(X, Y )服从多项分布，X, Y 的全部可能取值分别为 0, 1, 2, 3, 4, 5， 且 P{X ??i, Y ??j} ? 5! i!??j!??(5 ??i ??j)! ??0.5i ??0.3 j ? 0.25?i??j , i ??0, 1, 2, 3, 4, 5; j ??0, L, 5 ??i ， 故 (X, Y ) 的联合分布列为 X 2． 盒子里装有 3 个黑球、2 个红球、2 个白球，从中任取 4 个，以 X 表示取到黑球的个数，以 Y 表示取 到红球的个数，试求 P{X = Y }． ?3???2???2? ??3???2? ???????? ???? ?? ???????????? 解： P{X ??Y} ??P{X ??1, Y ??1} ??P{X ??2,Y ??2} ???1???1 ???2????? 2???2?????6 ? 3 ???9 ． ??7 ? ???4?? ??7 ? ???4?? 35 35 35 ???? ???? 3． 口袋中有 5 个白球、8 个黑球，从中不放回地一个接一个取出 3 个．如果第 i 次取出的是白球，则令 Xi = 1，否则令 Xi = 0，i = 1, 2, 3．求： （1）(X1, X2, X3)的联合分布列； （2）(X1, X2)的联合分布列． 解：（1） P{( X , X , X ) ??(0, 0, 0)} ? 8 ??7 ??6 ? 28 ， P{( X , X , X ) ??(0, 0, 1)} ? 8 ??7 ??5 ???70 ， 1 2 3 13 12 11 143 1 2 3 13 12 11 429 P{( X , X , X ) ??(0, 1, 0)} ? 8 ??5 ??7 ? 70 ， P{( X , X , X ) ??(1, 0, 0)} ? 5 ??8 ??7 ? 70 ， 1 2 3 13 12 11 429 1 2 3 13 12 11 429 P{( X , X , X ) ??(0, 1, 1)} ? 8 ??5 ??4 ? 40 ， P{( X , X , X ) ??(1, 0, 1)} ? 5 ??8 ??4 ? 40 ， 1 2 3 13 12 11 429 1 2 3 13 12 11 429 P{( X , X , X ) ??(1, 1, 0)} ? 5 ??4 ??8 ? 40 ， P{( X , X , X ) ??(1, 1, 1)} ? 5 ??4 ??3 ???5 ； 1 2 3 13 12 11 429 1 2 3 13 12 11 143 （2） P{( X , X ) ??(0, 0)} ? 8 ??7 ??14 ， P{( X , X ) ??(0, 1)} ? 8 ??5 ??10 ， 1 2 13 12 39 1 2 13 12 39 P{( X , X ) ??(1, 0)} ? 5 ??8 ??10 ， P{( X , X ) ??(1, 1)} ? 5 ??4 ???5 ． 1 2 13 12 39 1 2 X 2 0 1 X1 13 12 39 0 14 / 39 1 10 / 39 10 / 39 5 / 39 4． 设随机变量 Xi , i =1, 2 的分布列如下，且满足 P{X1X2 = 0} = 1，试求 P{X1 = X2}． X i ??1 0 1 P 0.25 0.5 0.25 解：因 P{X1 X2 = 0} = 1，有 P{X1 X2 ??0} = 0， 即