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数学建模 ——考试论文 标 题： 空洞探测 学生姓名： 学 号： 班 级： 指导老师： 【摘要】本问题是一个0--1规划问题，为空洞探测提供了求解方法及优化理论。通过用逐步细化单元格的方法,根据单元格为空洞的概率,建立了空洞分布模型，并进行了比较分析。 问题二中利用同样的思想，对其进行求解，与问题一进行比较，发现其存在的误差较大，因此一般不采用问题二的方法。在方法的改进中，主要利用点对称的思想进行对波源和接收器的逐一排除。并与问题一的结果进行对比，发现改进较为可行。这个过程中还运用了Matlab5.3和Visual C 6.0软件。 【关键词】0--1规划,空洞概率，方差. 一、问题重述 山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。利用同样的机理可以确定平板内的空洞。一个简化问题可描述为，一块240（米）×240（米）的平板（如图），在 AB边等距地设置7个波源Pi (i=1,…,7)，CD边对等地安放7个接收器Qj (j=1,…,7)，记录由Pi发出的弹性波到达Qj 的时间tij (秒); 在 AD边等距地设置7个波源Ri (i=1,…,7)，BC边对等地安放7个接收器Sj (j=1,…,7)，记录由Ri 发出的弹性波到达Sj 的时间 τij (秒)。已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880（米/秒）和320（米/秒）。 确定该平板内空洞的位置。 根据由Pi发出的弹性波到达Qj 的时间tij (i, j=1,…,7)，能确定空洞的位置吗；讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。 T ij Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 P1 0.0611 0.0895 0.1996 0.2032 0.4181 0.4923 0.5646 P2 0.0989 0.0592 0.4413 0.4318 0.4770 0.5242 0.3805 P3 0.3052 0.4131 0.0598 0.4153 0.4156 0.3563 0.1919 P4 0.3221 0.4453 0.4040 0.0738 0.1789 0.0740 0.2122 P5 0.3490 0.4529 0.2263 0.1917 0.0839 0.1768 0.1810 P6 0.3807 0.3177 0.2364 0.3064 0.2217 0.0939 0.1031 P7 0.4311 0.3397 0.3566 0.1954 0.0760 0.0688 0.1042 τij S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 R1 0.0645 0.0602 0.0813 0.3516 0.3867 0.4314 0.5721 R2 0.0753 0.0700 0.2852 0.4341 0.3491 0.4800 0.4980 R3 0.3456 0.3205 0.0974 0.4093 0.4240 0.4540 0.3112 R4 0.3655 0.3289 0.4247 0.1007 0.3249 0.2134 0.1017 R5 0.3165 0.2409 0.3214 0.3256 0.0904 0.1874 0.2130 R6 0.2749 0.3891 0.5895 0.3016 0.2058 0.0841 0.0706 R7 0.4434 0.4919 0.3904 0.0786 0.0709 0.0914 0.0583 二、问题的假设： 1 、弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。 2、空气密度和介质密度都均匀。 3 、假定在减少波源和接受源之后其他波源和接受源的位置不变。 4、弹性波在传播过程中互不干扰，不发生干涉。 三、变量的说明： 1 、设AB边等距的设置波源的顺序为：从A到B分别为P1 ，P2 ，P3 ，P4 ，P5 ，P6 ，P7 。 2 、设AD边等距的设置波源的顺序为：从A到D分别是R1 ，R2 ，R3 ，R4 ，R5 ，R6 ，R7 。 3、 PiＱj(i,j=1,…,7)方向的波线所走路径中介质的长度以矩阵Ｘ1（7×7）表示，空气的长度以矩阵Ｙ1（7×7）表示。ＲiＳj(i,j=1,…,7)方向的波线所走路径中介质的长度以矩阵Ｘ２（7×7），空气的长度以矩阵Ｙ２（7×7）表示。 4、将平板分成许多单元格，以G（m，n）（1≤m，n≤30， 0≤G（m，n）≤1）表示。其中，m、n