2010年线性代数阶段测试三.docVIP

2010年《线性代数》阶段练习题（三） 一、填空题 1.矩阵的特征值分别为 . 2.设为阶方阵，若方程有非零解，则必有一个特征值等于 . 3.可逆矩阵的三个特征值分别为,则的三个特征值分别为 . 4.设是矩阵的一个特征值，则必为矩阵 的一个特征值. 5.设向量与向量正交，则 . 6.若为正交矩阵，则 . 7.实对称阵的所有顺序主子式均大于零是正定的 条件. 8.二次型正定，则的取值范围是 . 9.二次型的秩等于 . 10.二次型的正惯性指数 . 二、选择题 1.设矩阵的特征多项式为，则（ ）. . 2.设矩阵的特征多项式为，则（ ）. . 3.若矩阵与相似，则( ). . 4.设,为二阶正交矩阵使得，( ). . 5.二次型正定，则的取值范围是( ). . 6.阶矩阵与合同，则( ). . 7.元实二次型为正定二次型，则下列结论不成立的是( ). . 8.设二次型经非奇异线性变换化为,则与( ). . 9.设矩阵其中,且,则为( ). . 10.元实二次型为正定二次型，则下列结论不成立的是( ). . 三、计算题 1.给定四维向量求非零向量，两两正交. 2.已知三阶矩阵的特征值为,求. 3.已知矩阵相似.(1)求；(2)求可逆矩阵,使. 4.设.(1)求的全部特征值与特征向量；(2)求可逆矩阵,使为对角矩阵. 5.已知为阶正交矩阵，且，的值；(2)求行列式的值. 6.给定的基, (1)将其化为的一组规范正交基； (2)求向量在规范正交基之下的坐标. 7.设三阶矩阵的三个特征值为,所对应的特征向量分别为,求三阶矩阵. 8.设实对称矩阵,求正交矩阵,使为对角矩阵. 9. 给定实对称矩阵.(1)求的全部特征值与特征向量；(2)求正交矩阵，为对角矩阵. 10.给定二次型，将该二次型化成标准形，并写出相应的可逆线性变换. 四、证明题 1.阶矩阵满足：，且,证明是的特征值. 2.已知为阶正交矩阵，且.证明：.其中为中元素的代数余子式. 3.若为阶实矩阵，证明必存在可逆矩阵，为对角阵. 4.若为阶正定矩阵，证明也是阶正定矩阵. 5.设为阶实对称矩阵，且满足，为正定矩阵. 1