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第九章 常微分方程数值解决 4.2 常用的线性多步公式 四阶Adams显式公式 四阶Adams隐式公式 1. Adams公式 （二）Milne公式 （三）Hamming公式 2. 一般地，同阶隐式公式比显式公式精确， 但隐式公式计算复杂，需用迭代法求解。 1. 线性多步公式不能自启动，一般需用同阶单步法求得初值后 再用线性多步公式计算； 说明 * (1) 用差商近似导数 差分方程初值问题 微分方程离散化的方法 若用向后差商近似导数，即 （2）用数值积分方法 对积分用点 处的矩形公式得 若对积分用梯形公式，则得 （3）用Taylor多项式近似 §1 Euler方法 Euler方法 的解作为微分方程初值问题的数值解，即 称为Euler方法。 以差分方程初值问题 解：Euler公式为 若取 ，则有 用Euler方法求初值问题 的数值解。 若以 求数值解，称为向后Euler法，这是隐式公式， 一般需用迭代法求解。 1.2 Euler方法的误差估计 对Euler方法，有 于是有 结论： §2 改进Euler方法 2.1 梯形公式 求解公式 2.2 改进Euler法 称为Euler公式与梯形公式的预测—校正系统。 实际计算时，常改写成以下形式 解 计算结果表明，改进Euler法的精度高于Euler法， 可以证明，改进Euler法是二阶方法。 §3 Runge—Kutta法 1. RK方法的构造 RK公式的一般形式为 特别地，取 这就是改进Euler公式，故其为二阶方法。 三阶RK公式 四阶RK公式（经典RK公式）。 说明： §4 线性多步法 单步法的一般形式： 显式为 4.1 线性多步公式的导出 利用Taylor展开 阶公式的局部截断误差为： 结论： 步公式至多可以达到 阶精度。 例 讨论二步公式 是几阶公式，并求出它的局部截断误差。 解一 代入公式（*）得 故所给公式是四阶公式，其局部截断误差为
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