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信丰中学高一年级数学解题能力竞赛试题 一：填空题（共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 若二次函数 ????????的解＝ 3. 某小学生练习将顺序相加， 从1到, 但是少加了一个数， 所得的和是2008， 则少加的那个数是______ ____ 4.对于方程，给出以下四个命题：①在区间上必有实根；②在区间上没有实根；③在区间上恰有1个实根；④在区间上存在3个实根。其中正确的命题序号是 5. 已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）＝1，且对任意的x∈R都有，则 . 6. 设方程与的根分别是， 则=___________ 7. 已知设函数，则的最大值为 8. 设．记为平行四边形内部(不含边界)的整点的个，其中整点是指横、纵坐标都是整的点，则函的值域为定义在区间上，求的最小值。 10.已知函数，其中为常数且。 （Ⅰ）当时，求函数的值域； （Ⅱ）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。 11.已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。 （Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由； （Ⅱ）设函数，求的取值范围； （Ⅲ）设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。 信丰中学高一年级数学解题能力竞赛答题卷 班级： 姓名： 得分： 一:填空题 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 二：解答题 9. 10. 11. 信丰中学高一年级数学解题能力竞赛参考答案 一:填空题 1． 2． 3． 4．5． 6．7． 8． 10. 解：（1）∵，∴函数的定义域为，令，则，， ∴， ∵时，，又时，递减，∴单调递增， ∴，即函数的值域为。 （2）假设存在这样的自然数满足条件，令， 则， ∵，则，要满足值域为， 则要满足， 由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值， ∴， 又在上是增函数，在上是减函数， ∴。综上，得 。 11. 解：（Ⅰ）若，在定义域内存在，则 ， ∵方程无解，∴。 （Ⅱ） ，时，； 时，由，得。 ∴。 （Ⅲ）∵ ， 又∵函数图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为， 则，其中。 ∴，即。