小学奥数08定义新运算.docVIP

1.6定义新运算 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 　　 如：设a△b=a+b+ab3△2=3+2+6=11，5△5=5+5+25=35 　　定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。 如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。例1已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。 　　解： a※b=（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。 　　所以，9※2=2×2=4。 　　例2定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb， 　　其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。 　　（1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？ 　　（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？ 　解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2=65+2k， 　　所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定义的新运算是：a⊙b=3a+5ab+4b。 　　8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244， 　　5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。 　　因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。 　　（2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有 　　3a+5ab+kb=3b+5ab+ka， 　　3a+kb-3b-ka=0， 　　3×(a-b)-k(a-b)=0， 　　(3-k)(a-b)=0。 　　对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。 当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即　a⊙b=b⊙a。 　　例3对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。 　　（1）求12☆21的值； 　　（2）已知6☆x=27，求x的值。 　　解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81； 　　（2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。因为6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28， 29， 30， 33。这四个数中只有 30是 6的倍数，所以 6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。因为a×b=[a，b]×（a，b），所以6×x=30×3，由此求得x=15。 　　例4a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。定义运算“◎”表示“接着做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。 　　解： a◎b表示先顺时针转90°，再顺时针转180°，等于顺时针转270°，也等于逆时针转90°，所以a◎b=c。 　　b◎c表示先顺时针转180°，再逆时针转90°，等于顺时针转90°，所以b◎c=a。 　　c◎a表示先逆时针转90°，再顺时针转90°，等于没转动，所以c◎a=d。 　　对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“◎”的运算表（见下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是c◎b的结果。因为运算◎符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。 　　例5任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。 　　（1）求f（5）-g（3）的值； 　　（2）求f（g（2））+g（f（2））的值； 　　（3）已知f（x+1）=21，求x的值。 　　解：（1） f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2； 　　（2）f（g（2））+g（f（2））=f（2×2）+g（2×2+1）=f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34； 　　（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3， 　　由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。