向量数量积.ppt

* * 2.3 平面向量的数量积 向量的夹角 　　 想一想 新课讲解 指出下列图中两向量的夹角 (2) (3) (1) A B O (6) (4) (5) 平行同向 平行反向 如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为: θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。 位移S O A 问题情境 θ F θ F 平面向量的数量积的定义 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 （2） a · b不能写成 a×b ，a×b 表示向量的另一种运算． 已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为? ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作 ， 即 向量的数量积和向量的 加减法以及向量的数 乘有什么本质的区别？ 变形 例题讲解 例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3） A C B 例题讲解 例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3） A C B 例题讲解 例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3） A C B 例题讲解 例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3） A C B 数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。 向量的数量积的几何意义 （1）射影的概念 如图所示： B 过B作 垂直OA，垂足 为 , 则 ， 在 方向上的射影 叫做向量 O A 叫做向量 在 方向上的射影 射影是向量 还是数量？ θ为钝角时， | b | cosθ＜0 θ为锐角时， | b | cosθ＞0 θ为直角时， | b | cosθ=0 B O A B O A A B O 向量的数量积的几何意义 （2）数量积的几何意义 数量积 等于 的长度 的几何意义是 与 在 方向上的射影 的乘积 例3、 ， ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的射影为 。 讨论总结性质： (判断两向量垂直的依据) 设 与 都是非零向量， 为 与 的夹角 当 与 同向时， 当 与 反向时， 或 （两个向量共线时取等号） 平面向量的数量积的运算律 已知向量 ， ， 和实数 ，则 （1） （交换律） （2） = （3） （与数乘的结合律） （分配律） 注意： 数量积不满足结合律 例题讲解 对任意向量 ，是否也有下面类似的结论？ 例： 我们知道，对任意 ，恒有 解： 例题讲解 对任意向量 ，是否也有下面类似的结论？ 例： 我们知道，对任意 ，恒有 解： 因此，结论是成立的。 例题讲解 例： 已知向量 与 的夹角为 ，且 求：（1） （2） （3）