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 无穷级数的概念与表达式问题 曹俊云1，曹凯22* （1. 河南理工大学数信学院，河南 焦作 454000； 5 10 15 20 25 30 2. 河南理工大学电气工程与自动化学院，河南 焦作 454000） 摘要：无穷次加法运算无法进行；在这种意义下的无穷级数是无有意义的。必须从前 n 项的 部分和及其序列极限意义上理解无穷级数。现有无穷级数表达式相当于约定级数和符号的意 义为前 n 项部分和序列的极限，这种约定不恰当。应当约定级数和符号的意义为部分和序列。 在 这 个 改 革 意 义 下 ， 无 尽 级 数 和 0.9+0.09+0.009+ … … 的 意 义 是 无 穷 数 列 0.9,0.99,0.999,……。它与 1 之间成立全能近似相等关系。 关键词：无穷；无穷级数；部分和；部分和序列；全能近似相等 中图分类号：O173 Questions on Concept and Expression of Infinite Series CAO Junyun1, CAO Kai2 (1. School of Mathematics and Information Science, Henan Polytechnic University, HeNan JiaoZuo 454000; 2. School of Electrical Engineering and Automation, Henan Polytechnic University, HeNan JiaoZuo 454000) Abstract: The operation of endless time addition could not be put into force; the infinite series have not meaning by this sense. To understand the meaning of infinite series must apply the partial sum and the limit of sequence of partial sum. The current expression of infinite series quite to appoint that sign of the infinite series is limit of sequence of partial sum. But this appointment is not suitable. This sign should be appoint the sequence of partial sum. Keywords: Infinity; Infinite series; partial sum; sequence of partial sum; Omnipotent approximation equality 0 前言 现行数学教科书对无穷级数概念的叙述如下： “设 u1 , u 2 , , u n , （1） 是一个无穷数列，对数列（1）的各项依次用加号连接起来的表达式 u1?? u 2?? ? u n?? （2） 称为数项级数，或无穷级数。 表达式（2）也常写作 35 ∞ n??1  n  ”。  [1] 文献[1]接着又写到：“级数的前 n 项的和 S n?? n n??1  n  ? u1?? u 2??  ? u n 称为级数（2） 的第 n 个部分和（或简称部分和）。 ”及如下的定义。 “定义 若级数（2）的部分和数列?S n??有极限，即 n→∞ 40 则称级数（2）收敛。 极限值 S 称为级数（2）的和，记作 作者简介：曹俊云，（1932-），男，副教授，从事应用数学与数学基础研究. E-mail: cjy@hpu.edu.cn -1-  S?? u1?? u 2??  ? u n??  (3) 若部分和数列?S n??没有极限，则称级数（2）发散。 ”[1] 这样的无穷级数概念（特别是（3）式）给人们造成了“可以进行无穷次加法运算”的 假象。例如，根据（3）式，可以得到：表达式 45  0.9?? 0.09?? 0.009?? ∞ n?1  n  ? 1  （4） 但实际上，人们始终不能进行无穷次加法运算。 无穷次加法运算 0.9?? 0.09?? 0.009?? 无法进行；等式右端的 1 是“前 n 项部分和序列”的极限，它不是 人们进行无穷次加法运算的结果。为此，本文依据文献[2]、[3]中的全能近似相等的概念， 对无穷级数的理论进行了下文所说的改革。 50 55 60  1 新实数理论