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 利用超对称量子力学方法解广义椭球函数 郭维奇，田贵花* （北京邮电大学理学院，北京 100876） 5 10 15 20 25 摘要：在本篇文章中，采用超对称量子力学方法试探性研究广义椭球函数。第一步，用超对 称量子力学方法计算出前三阶超势和前三阶基态本征值，然后总结出超势的一般递推公式， 并对此递推公式进行数学归纳法证明，由此求得广义椭球波动方程的基态波函数，此近似解 有着很大应用的价值。 关键词：超势；超对称量子力学；基态波函数 中图分类号：O412.1 spheroidal wave equation by super-symmetric quantum mechanic Guo Weiqi, Tian Guihua (Beijing University of Posts and Telecommunication, School of Science, Beijing 100876) Abstract: In the paper, we use super-symmetric quantum mechanics to study the spin-weighted spheroidal wave equation. The first step, with the method of super-symmetric quantum mechanics to calculate the first three order super potentials and state ground state eigenvalue, and then summed up the general recursive formula, and use mathematical induction to prove the correctness of the recursion formula, which seek generalized ellipsoidal wave equations. This solution has great application value. Key words: spin-weighted spheroidal wave equation; super potential;super-symmetric quantum mechanics 1 引言 在天体与相对论物理中，广义椭球函数的用处非常广泛，例如在引力波探，弯曲时空中 的量子场论，同时在球腔问题，以及在信号和数字图像处理方面有着非常多的应用[1]-[2]。 广义椭球波动方程的形式如下： 1 d d sin? d? d?  2 2 (m? scos?)2 sin2?  ]????E?  (1.1) 30 此方程需满足??(? ) 在??? 0,? 处有界的边界条件，这是施图姆—刘维尔边值问题。方程中 s?? 0,?? 1,?? 2,?? 1 3 2 2  , S 代表自旋权重，在 Kerr 黑洞微扰中分别代表微扰场为标量场 和电磁场，引力场及狄拉克场和 Rarita-Schwinger 场。尽管他们是广义椭球函数的扩充，直 到现在，其特性都很复杂，研究起来很困难。最近，文献[3]-[4]把超对称量子力学方法应用到 s?? 0,?? 1,?? 2,?? 1 3 2 2  时广义椭球波动方程的研究上，得到了很多有用的结果。这些结 35 果有许多是首次给出的，尤其是给出了给出基态本征函数与本征值的作为?? 幂级数的通项 公式，这是前人的结果没有做到的。本文主要研究应用超对称量子力学方法重新解 s?? 作者简介：郭维奇，1984, 男，硕士研究生，广义相对论. E-mail: gwqkyr@126.com -1- 3 2  的  广义椭球函数方程。在超对称量子力学中，本文主要把方程（1.1）转换成薛定谔方程的形 式重新进行研究。这样得到了方程的前四阶超势和本征值，并最终给出了它的基态波函数和 本征值。这些结果为广义椭球函数的应用有着很大的价值[5]-[7]。 40  2 前三阶超势和能量本征值的计算 2.1  超对称量子力学方法的引入 为了使用超对称量子力学方法求解方程，首先，必须把方程转化成薛定谔方程的形式。 方程（1.1）中的自变量? 进行下面变换[8] d?? d?  ? 1 d?? sin?? dz  ,  (2.1) 45 这样，方程（1.1）转化成薛定谔方程的形式，即： d 2? 2  2 2 2 2 2