概率论与数理统计第四章.pptVIP

第三章 随机向量及分布 第一节 二维随机向量及其分布函数 第二节 二维离散型随机向量 第三节 二维连续型随机向量 第四节 边 缘 分 布 第五节 条 件 分 布 第六节 随机变量的独立性 第七节 随机向量函数的分布 这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念. 给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握 . 如果两个随机变量不独立，讨论它们的关系时，除了前面介绍的联合分布和边缘分布外，有必要引入条件分布的概念，这将在下一讲介绍. 第三章第七节 随机向量函数的分布 在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论: 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的联合分布? 一、离散型分布的情形 例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函数. 解: =a0br+a1br-1+…+arb0 由独立 性 此即离散型 卷积公式 r=0,1,2, … 解：依题意 例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 的泊松分布. 由卷积公式 i=0,1,2,… j=0,1,2,… 由卷积公式 即Z服从参数为 的泊松分布. r =0,1，… 即 当|x|1时,有 X作为已知变量 这里是y的取值范围 X已知下Y 的 条件密度 请看演示 条件分布 前面，我们已经知道，二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布. 可以证明，对二维正态分布，已知 X=x下，Y 的条件分布，或者已知 Y=y下，X的条件分布都仍是正态分布. 留作练习. 二维正态分布 再看 解: 例 5 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为: 求:条件概率密度和条件概率： ∴ y?(0,1] 时 fY(y)0 转下页 ∴ x?(-1,1) 时 fX(x)0 例 6 设店主在每日开门营业时,放在柜台上的货物量为Y,当日销售量为X,假定一天中不再往柜台上补充货物,于是X≤Y.根据历史资料,(X,Y)的概率密度函数为 求:(1).给定Y=y条件下,X的条件概率密度. (2).假定某日开门时,Y=10件,求这天顾客买走X≤5件的概率. (3).如果Y=20件呢? 解: :(1). ∴ y?(0,20] 时 fY(y)0. (2)Y=10时,顾客买走X≤5件的概率为 (3)Y=20时,顾客买走X≤5件的概率 这表明货物销售量X与放在柜台上的货物量Y的关系是很密切的. 例7 设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到 X=x(0x1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y 的概率密度. 解：依题意，X具有概率密度 对于任意给定的值x(0x1)，在X=x的条件下，Y的条件概率密度为 X和Y的联合密度为 于是得Y的概率密度为 已知边缘密度、 条件密度，求 联合密度 这一讲，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布. 请课下通过练习进一步掌握. 下一讲我们将介绍随机变量的独立性，请事先预习. 第三章第六节 随机变量的独立性 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 . 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 两随机变量独立的定义是： 用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v.，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 它表明，两个r.v.相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 . 其中 是X,Y的联合密度， 几乎处处成立，则称X,Y相互独立 . 对任意的 x, y, 有 若 (X,Y)是连续型r.v. ，则上述独立性的定义等价于： 这里“几乎处处 成立”的含义是： 在平面上除去面 积为0的集合外， 处处成立. 分别是X的 边缘密度和Y 的边缘密度 . 若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立