CH4数值积分与数值微分—4.2复合求积法.pptVIP

华长生制作 第四章 数值积分与 数值微分 张红梅 自动化学院 2010年3月 4.2 复合求积法 上一节内容回顾 n 阶 Newton-Cotes 求积公式: 求积系数: Cotes 系数: n = 1 梯形公式: n = 2 Simpson 公式: n = 4 Cotes 公式: 1 次代数精度 3 次代数精度 5 次代数精度 通过对Newton-Cotes 公式稳定性的讨论知: 当n≥8 时, 插值积分公式容易出现不收敛的情况. 为解决稳定性问题, 且提高公式精度, 同时又使算法简单 易行, 常常采用： 复合求积法 当[a,b]的长度较大, 且 n 固定时, 若直接使用 Newton-Cotes 公式, 余项将会较大. 随区间长度的 增大而增大 会使公式的舍入误差很难控制. 增加节点数? 4.2 复合求积法 1、积分区间离散化：将区间 [a,b] 分成若干个子区间； 2、在每个小区间上使用低阶 Newton-Cotes 公式； 3、将每个小区间上积分的近似值相加。 复合求积基本步骤： 2. 在子区间 上使用Newton-Cotes 公式, 即将 分割为 l 等份, 步长为 , 节点为 记为： 复合求积具体步骤: 1. 将定积分 的积分区间 分割为 n 等份： 2-1 复合求积公式 由积分的区间可加性得 复合求积公式 3. 在 上作 f(x) 的 l 阶Newton-Cotes 公式 复合梯形公式 复合梯形公式分解 … … … 复合 Simpson 公式 复合Simpson公式分解 … … … 复合Cotes公式 例. 解: 为简单起见, 依次使用 8 阶复合梯形公式、4 阶复合Simpson 公式和 2 阶复合Cotes 公式, 得节点值如下表: 使用以上三种复合求积公式计算定积分 0 1 0.125 00.25 00.375 00.5 00.625 00.75 00.875 01 0Trapz x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 分别由复合梯形、 复合Simpson、复合Cotes 公式有: 原积分的精确值为: 精度最高 精度次高 精度最低 比较三个公式所得结果: 哪个复合求积公式收敛得最快？ 三个求积公式的余项分别为： 单纯的求积公式余项 复合求积公式的每个小区间 2-2 复合求积公式的余项和收敛阶 为得到复合求积公式的余项公式,只需将每个小区间上的余项相加 1. 设被积函数 , 则复合梯形公式的余项为 由于 即有 及介值定理知, , 使得 又由 因此, 当n 足够大时, 复合梯形公式的余项近似表示为： 知 2. 若 , 则n 足够大时, 复合Simpson 公式余项为 类似于复合梯形公式的推导 用介值定理 再由 可知, 当n 足够大时, 复合 Simpson 公式的余项近似表示为： 3. 若 , 则n 足够大时, 复合 Cotes 公式余项为 由 可知, 当n 足够大时, 复合 Cotes 公式的余项近似表示为： 哪个复合求积公式收敛得最快？ 比较三种复合求积公式的余项: 为描述算法收敛的快慢, 引入收敛阶的概念: 分别是h 的 2, 4, 6 阶无穷小量. 趋于定积分 I 的速度依次加快. 当h 很小时, Tn、Sn、Cn 公式的收敛阶分别为 2、4 和 6. 显然， 定义1. 对于复合求积公式 In , 若存在 p 0 及 c≠0, 使 I - In 满足 则称复合求积公式 In 是 p 阶收敛的. P 阶收敛 由复合求积的余项公式可知，步长 h 越小，计算值的 精度越高。但是如果h过小即n过大，会增加计算复杂度。 ? 实际应用中，根据精度需要，可由计算机自动选取步长。 ? 复合梯形公式的余项为: 即 , 小区间数量增加到 2