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纽结的(m,n)-变换# 李雁南* （大连交通大学理学院，辽宁大连 116028）  n 5 摘要：众所周知, 交叉点变换和#-变换都是可使纽结变成平凡结的变换. 本文定义了一类新 的变换—(ｍ, ｎ)-变换; 并且证明对任意的正整数ｍ、ｎ, (ｍ, ｎ)-变换都是可使纽结变成平 凡结的变换. 关键词：纽结；平凡化变换；交叉点变换；#-变换 中图分类号：O189.24 10 (m,n)-Move of Knots LI Yannan (School of Sciences, Dalian Jiaotong University, Dalian, Liaoning 116028) Abstract: It is well known that crossing change and #-move are unknotted operations. In this 15 20 25 30 paper, a new class of knots operations, called (ｍ,ｎ)-moves, is given. For the new operations, this paper shows that (ｍ, ｎ)-moves are unknotted operations for any . Key words: knots; unknotted operation; crossing change; #--move 0 引言 纽结理论至 19 世纪发展至今，取得了极其丰富的结论. 而关于纽结的局部变换也有很 多，如交叉点变换（crossing change）、#-变换（sharp move）及?? -变换等. 这些变换都能够 使纽结变成平凡纽结. 本文将讨论一类新的变换—( m , n )-变换. 具体定义参见定义 3.1. ( m , n )-变换是交叉点变换与#-变换的推广. 本文将要证明: 对任意的正整数 m 、n ，( m , n )- 变换都是可使纽结变成平凡结的变换. 1 纽结的基本定义 1 3 2 上的一点，如果 p??1 (c)?∩ K 包含 n 个点，就称 c 是一个 n 重点. 如果 p(K ) 只含有有限个 2 重点，并且对每个重点 c ，存在 c 的充分小的邻域 N (c) 使得 p 作用在 p??1 ( N (c)?∩ L) 的两 个分支上是横截相交的，则称 p(K ) 为 K 的正则投影. 2 重点也称为纽结的交叉点. 我们通 常用纽结的正则投影图来直观的表示一个纽结. 在画纽结的正则投影图时，上面的线用一条 直线画出，而在下面的线则用一个断开的线表示. 参见图 2.1. 关于纽结的基本定义，读者还可以参见一些经典教材，如参考文献[1]、[2]及[3]. 在下 面的讨论中，我们将不加区别的使用纽结 K 与其正则投影 p(K ) . 35 定义 1.1 图 1.1 所示的三种变换称为 Reidemeister 变换. 基金项目：教育部博士点基金青年项目（200801411069） 作者简介：李雁南. E-mail: yn_lee79@ -1-  n 图 1.1 Reidemeister 变换 40 定义 1.2 如果一个纽结可以通过有限次 Reidemeister 变换变为无重点的纽结，则称这 个纽结为平凡结. 定义 1.3 对于某种变换，如果对任意纽结的正则投影图，都能使其经过有限次 Reidemeister 变换及这种变换后变为平凡纽结，就称这种变换为可平凡化变换（unknotting 45 operation）. 2 一交叉点变换与双交叉点变换 图 2.1 交叉点变换 50 定义 2.1 设 K 是一个纽结，如果把 K 的一个交叉点的上下两条线段交换，就能得到一 个新的纽结. 称这种变换为纽结的交叉点变换（corssing change）. 如图 2.1 所示. 交叉点变换是纽结变换中研究较为广泛的一种变换. 一个纽结可以通过交叉点变换变 为 平 凡 纽 结 的 最 少 次 数 称 为 这 个 纽 结 的 解 结 数 (unknotting number). 1985 年 ， 55 SCHARLEMANN M. 证明了所有解结数为 1 的纽结都是素纽结. 对于交叉点变换，有如下 -2-  n 引理： 引理 2.2 交叉点变换是可平凡化变换. 证明：见参考文献[1]中定理 11.1.2. 60 定义 2.3 设有一个定向纽结，且其在局部有一个如图 2.2 所示的“#”字形的结构，同时 改变四条曲线的上下关系的变换称为#-变换（sharp move）. 65 70 75  图 2.2 Sharp 变换 #-变换最早由 MUR