北京大学08数学分析.pdfVIP

数学分析 2008 1．证明有界闭区间上的连续函数一致连续. 2 ．是否存在(-∞,+ ∞)上的连续函数f(x),满足f(f(x))=e?证明你的结论. 3 ．数列{x }(n≥1)，满足nm,|x x | ,求证{x }无界. ′ 4 ．f(x)是(-1,1)上的无穷次可导函数,f(0)=1,|f′(0)|≤2,令g(x)= ,|g 0|≤2n!.证明对所有正整 数n,|f 0|≤(n+1)! [[本人注:本题试卷打印有误,最后的 n 阶导数没有加括号(n).这里已改正.]] 5 ． y z dydz z x dzdx x ydxdy Σ Σ:球面x y z 2Rx被圆柱面x y 2rx(0rR)所截得的部分,定向取外侧. 6 ．证明F(x,y)=2-sin x+y e在全平面有唯一解y=y(x),且y(x)连续,可微. ∞ 7 ． f(x) 在 [0,+ ∞) 上 内 闭 Riemann 可 积 , 且 f x dx 收 敛 , 求 证 ∞ ∞ lim e f x dx= f x dx. | | 8．f(x)是 (-∞,+ ∞)上的二阶连续可导函数,满足:1)lim| | f x x 0;2)x (-∞,+ ∞), ∞ 满足f(x ′′ )≤0.求证:f x 在∞, ∞上变号. .f(x)在[0,1]上有连续一阶导函数,f(0)=f(1).a 9 ．g(x)是周期为 1 的连续函数, g x dx 0 fxg(nx)dx,求证lim na 0. ∞ 10．f(x)在[0,1]上 Riemann 可积,且对[0,1]上任何有限个两两不交的闭区间[a , b ],1≤i≤n,都有 ∑ | f x dx |≤1.求证 |f x |dx≤2.